Encontre a derivada da função
F(x)=(3 x-1)^4(2 x+1)^-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função F(x) = (3x - 1)^4 cdot (2x + 1)^-3 . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a derivação de funções que são produtos de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções u(x) e v(x) é:
F'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
No nosso caso, temos:
u(x) = (3x - 1)^4 e v(x) = (2x + 1)^-3

Passo 3

Vamos derivar u(x) = (3x - 1)^4 . Para isso, usamos a regra da cadeia, que para uma função (g(x))^n diz que a derivada é:
ddx [g(x)]^n = n cdot [g(x)]^n-1 cdot g'(x)
Aplicando isso a u(x) :
u'(x) = 4 cdot (3x - 1)^3 cdot 3 = 12 cdot (3x - 1)^3

Passo 4

Agora, vamos derivar v(x) = (2x + 1)^-3 também usando a regra da cadeia:
v'(x) = -3 cdot (2x + 1)^-4 cdot 2 = -6 cdot (2x + 1)^-4

Passo 5

Agora que temos u'(x) e v'(x) , vamos aplicar a regra do produto:
F'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo os valores:
F'(x) = 12 cdot (3x - 1)^3 cdot (2x + 1)^-3 + (3x - 1)^4 cdot (-6) cdot (2x + 1)^-4

Passo 6

Para simplificar, podemos fatorar termos comuns. Observamos que (3x - 1)^3 e (2x + 1)^-4 são comuns. Então,
F'(x) = (3x - 1)^3 cdot (2x + 1)^-4 cdot [12(2x + 1) - 6(3x - 1)]
Simplificando a expressão dentro dos colchetes:
12(2x + 1) - 6(3x - 1) = 24x + 12 - 18x + 6 = 6x + 18 = 6(x + 3)

Passo 7

Substituindo de volta:
F'(x) = 6(x + 3) cdot (3x - 1)^3 cdot (2x + 1)^-4
Podemos escrever de forma mais limpa:
F'(x) = 6(x + 3)(3x - 1)^3(2x + 1)^4

Resposta

A derivada da função F(x) é:
F'(x) = 6(x + 3)(3x - 1)^3(2x + 1)^4

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