Encontre a derivada da função
F(x)=cos (11+e^2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=cos!l(tfrac11+e^2xr)
O conteúdo necessário é a regra da cadeia para funções compostas e a derivada da função exponencial.

Passo 2

Definimos
U(x)=11+e^2x,
logo F(x)=cosl(U(x)r). Pela regra da cadeia,
F'(x)=-sinl(U(x)r),cdot U'(x)

Passo 3

Para calcular U'(x), note que
U(x)=(1+e^2x)^-1
Aplicando a regra da cadeia e a derivada de e^2x, obtemos
U'(x)=-(1+e^2x)^-2,ddx(1+e^2x) =-(1+e^2x)^-2cdot2e^2x =-2e^2x(1+e^2x)^2

Passo 4

Substituindo U'(x) em F'(x), temos
F'(x)=-sin!l(tfrac11+e^2xr)timesl(-2e^2x(1+e^2x)^2r) =2e^2x,sin!l(tfrac11+e^2xr)(1+e^2x)^2

Resposta

F'(x)=2e^2x,sin!l(tfrac11+e^2xr)(1+e^2x)^2

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