Sejam as funções f(x)=raizx^2-1 e g(x)=x+1. Calcule, caso possıvel, g circ f, f circ g e f circ f depois, determine o domınio e a imagem de cada.

Passo 1

O enunciado dá as funções
e
e pede as composições , e , bem como domínio e imagem de cada uma. Para isso, vamos usar a definição de composição
e lembrar que

Passo 2

Calcular .
Domínio: como e está definida em todo , temos
Imagem: para temos , logo
e à medida que isso cresce sem limite. Assim

Passo 3

Calcular fcirc g.
(fcirc g)(x)=fl(x+1r)=raiz(x+1)^2-1=raizx^2+2x
Domínio: requeremos (x+1)^2-1>=0, isto é
x^2+2x>=0;Long<=ftrightarrow;x(x+2)>=0;Longrightarrow;xin(-infty,-2]cup[0,infty)
Imagem: como é raiz de algo não negativo, obtemos
Im(fcirc g)=[0,infty)

Passo 4

Calcular .
Domínio: primeiro precisa (para existir), e em seguida , ou seja
Combinando com , fica , logo
Imagem: novamente é raiz de não negativo, então

Resposta



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