Encontre a derivada da função.
g(x)=integral1-2 x^1+2 x t sen t d t

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a derivada de
g(x)=integral1-2x^1+2x tsent,dt
Isso é um caso de derivada de integral com limites que dependem de x, então vamos usar a regra de Leibniz (teorema fundamental do cálculo + regra da cadeia).

Passo 2

A regra de Leibniz diz:
ddx!integrala(x)^b(x) f(t),dt ;=; fl(b(x)r),b'(x);-;fl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

Aqui temos
a(x)=1-2x, b(x)=1+2x, f(t)=tsent,
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a'(x)=-2, b'(x)=2
Substituindo na fórmula:
g'(x)=f(1+2x)cdot2 ;-; f(1-2x)cdot(-2)

Passo 4

Como f(t)=tsent, obtemos
g'(x)=2,(1+2x),sen(1+2x);+;2,(1-2x),sen(1-2x)

Resposta

g'(x)=2,(1+2x),sen(1+2x)+2,(1-2x),sen(1-2x)

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