Suponha que o raio de convergência da série de potências
seja
. Qual é o raio da série de potências
?
Passo 1
O enunciado nos dá uma série de potências
com raio de convergência
. Precisamos achar o raio de convergência da série “lacunária”
Vamos usar o Critério da Raiz (\emph{root test}) e a relação
Passo 2
Denote o
n -ésimo termo da nova série por
Pelo Critério da Raiz, a série converge absolutamente se
e diverge se
L>1 .
Passo 3
Calculemos
Como
temos
Passo 4
Analise
limsupntoinftyl|rr|^2^n/n :
- Se
, entãol|rr|<1 faz2^n/ntoinfty , logol|rr|^2^n/nto0 e converge.L=0<1 - Se
, entãol|rr|>1 , logol|rr|^2^n/ntoinfty e diverge.L=infty>1 - O caso
fica na fronteira e depende de detalhes del|rr|=1 , mas não entra na definição do raio.cn
Passo 5
Concluímos que a nova série converge para
l|rr|<1 e diverge para
l|rr|>1 .
Resposta
O raio de convergência da série
sumn=0^inftycnr^2^n é
1 .