Suponha que o raio de convergência da série de potências Sigma cn x^0 seja R. Qual é o raio da série de potências Sigma cn r^2^n?

Passo 1

O enunciado nos dá uma série de potências
sumn=0^infty cn x^n
com raio de convergência R. Precisamos achar o raio de convergência da série “lacunária”
sumn=0^infty cn r^2^n .
Vamos usar o Critério da Raiz (\emph{root test}) e a relação
limsupn to infty l| cn r|^1/n = 1R

Passo 2

Denote o n-ésimo termo da nova série por
an=cn,r^2^n
Pelo Critério da Raiz, a série converge absolutamente se
L=limsupntoinftyl|anr|^1/n<1
e diverge se L>1.

Passo 3

Calculemos
l|anr|^1/n =l|cnr|^1/n,l|r^2^nr|^1/n =l|cnr|^1/n,l|rr|^2^n/n
Como
limsupntoinftyl|cnr|^1/n=1R,
temos
L =1R,limsupntoinftyl|rr|^2^n/n

Passo 4

Analise limsupntoinftyl|rr|^2^n/n:
  • Se l|rr|<1, então 2^n/ntoinfty faz l|rr|^2^n/nto0, logo L=0<1 e converge.
  • Se l|rr|>1, então l|rr|^2^n/ntoinfty, logo L=infty>1 e diverge.
  • O caso l|rr|=1 fica na fronteira e depende de detalhes de cn, mas não entra na definição do raio.

Passo 5

Concluímos que a nova série converge para l|rr|<1 e diverge para l|rr|>1.

Resposta

O raio de convergência da série sumn=0^inftycnr^2^n é 1.

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