Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de potências: vamos usar o teste da raiz para achar o raio de convergência e depois testar os pontos de fronteira .
Passo 2
Para achar o raio de convergência aplicamos o teste da raiz: definimos
e calculamos
Como , segue que
então o raio de convergência vem de
portanto
R=1
Passo 3
Testamos agora os extremos do intervalo |x|<=1:
Em x=1 a série fica
sumn=2^infty(-1)^nnln n
É uma série alternada com termo geral bn=1/(nln n) que satisfaz bnsearrow0. Logo, converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.
Em x=-1 a série fica
sumn=2^infty(-1)^nnln n(-1)^n =sumn=2^infty1nln n
Essa é a série harmônica modificada que diverge pelo teste da integral (ou comparação com integral1/(xln x),dx).
Resposta
Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: (-1,1].