Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=2^infty (-1)^nn ln n x^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=2^infty(-1)^nnln n,x^n
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de potências: vamos usar o teste da raiz para achar o raio de convergência e depois testar os pontos de fronteira x=pm1.

Passo 2

Para achar o raio de convergência R aplicamos o teste da raiz: definimos
an=(-1)^nnln n
e calculamos
limntoinftyraiz[n]|an|=limntoinftygl(1nln ngr)^1/n
Como raiz[n]nln nto1, segue que
limntoinftyraiz[n]|an|=1,
então o raio de convergência vem de
limntoinftyraiz[n]|an|,l|xr|<1 Longrightarrow|x|<1,
portanto
R=1

Passo 3

Testamos agora os extremos do intervalo |x|<=1:
  1. Em x=1 a série fica
    sumn=2^infty(-1)^nnln n
    É uma série alternada com termo geral bn=1/(nln n) que satisfaz bnsearrow0. Logo, converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.
  2. Em x=-1 a série fica
    sumn=2^infty(-1)^nnln n(-1)^n =sumn=2^infty1nln n
    Essa é a série harmônica modificada que diverge pelo teste da integral (ou comparação com integral1/(xln x),dx).

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: (-1,1].

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