Encontre a derivada da função.
G(z)=(1+cos ^2 z)^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
G(z)=l(1+cos^2 zr)^3
Aqui vamos usar a Regra da Cadeia, porque temos uma função ao cubo aplicada a uma expressão interna que também é composta ( cos^2 z).

Passo 2

Definimos a função interna
H(z)=1+cos^2 z
e a externa
F(u)=u^3,
de modo que G(z)=F(H(z)). Pela Regra da Cadeia,
G'(z)=F'[H(z)]cdot H'(z)
Como F'(u)=3u^2, obtemos
G'(z)=3l(H(z)r)^2cdot H'(z) =3l(1+cos^2 zr)^2cdot H'(z)

Passo 3

Agora calculamos H'(z). Como
H(z)=1+cos^2 z,
a derivada do 1 é zero e resta derivar cos^2 z. Chamando u(z)=cos z, temos
ddzl(cos^2 zr) =ddzl(u(z)^2r) =2u(z),u'(z) =2cos zcdot(-sin z) =-2sin zcos z
Portanto
H'(z)=-2sin zcos z

Passo 4

Substituindo H'(z) em G'(z), concluímos
G'(z) =3l(1+cos^2 zr)^2cdot(-2sin zcos z) =-6sin zcos zl(1+cos^2 zr)^2

Resposta

G'(z)=-6sin zcos zl(1+cos^2 zr)^2

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