Encontre a derivada da função.
y=sen^2(x^2+1)

Passo 1

O enunciado dá a função
y = sin^2l(x^2+1r)
e pede y'. Aqui vamos usar a regra da cadeia, pois y é composição de três funções: o polinômio u(x)=x^2+1, o seno v(u)=sin(u) e o quadrado w(v)=v^2.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^2+1, v(u)=sin(u), w(v)=v^2
Então y = wl(v(u(x))r). Calculamos as derivadas:
u'(x)=2x, v'(u)=cos(u), w'(v)=2v
Pela regra da cadeia,
y' = w'(v),cdot,v'(u),cdot,u'(x) = 2,sin(u),cdot,cos(u),cdot,2x

Passo 3

Substituindo u = x^2+1, obtemos
y' = 4x,sinl(x^2+1r),cosl(x^2+1r)
Opcionalmente, usando sin(2theta)=2sinthetacostheta, dá-se
y' = 2x,sinl(2(x^2+1)r)

Resposta

y' = 4x,sinl(x^2+1r),cosl(x^2+1r)

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