Suponha que a, b e c são inteiros tais que 6 divide a+b+c. Mostre que 6 também divide a^3+b^3+c^3.

Passo 1

O enunciado diz que a,b,c são inteiros tais que 6mid a+b+c. Temos que mostrar que 6mid a^3+b^3+c^3. Como 6=2cdot3, basta provar separadamente a divisibilidade por 2 e por 3.

Passo 2

Divisibilidade por 2. Para qualquer inteiro x vale
x^3equiv xpmod2,
pois em 0,1 o cubo preserva a paridade. Assim,
a^3+b^3+c^3equiv a+b+cequiv 0pmod2,
logo 2mid a^3+b^3+c^3.

Passo 3

Divisibilidade por 3. De modo semelhante, em módulo 3 temos
x^3equiv xpmod3
para todo inteiro x (verificar para as classes 0,1,2 ou usar o Teorema de Fermat). Então
a^3+b^3+c^3equiv a+b+cequiv 0pmod3,
portanto 3mid a^3+b^3+c^3.

Passo 4

Como a^3+b^3+c^3 é múltiplo de 2 e de 3 e gcd(2,3)=1, segue que
6=2cdot3mid a^3+b^3+c^3

Resposta

6mid a^3+b^3+c^3.

Exercícios relacionados