Mostre que se
é um inteiro positivo, então
divide
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
divide
para todo inteiro positivo
. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema Binomial e argumentos de divisibilidade em módulo.
Passo 2
Aplicamos o Teorema Binomial para expandir
:
Passo 3
Na soma anterior, o termo para
é
Para
temos
que já é múltiplo de
. Se
, então
traz um fator
e
traz pelo menos
, de modo que
é também múltiplo de
. Logo, todos os termos com
são divisíveis por
.
Passo 4
Somando tudo, fica
ou seja,
Isso implica que
divide
.
Resposta
Como queríamos, para todo inteiro positivo
vale