Mostre que se n é um inteiro positivo, então n^2 divide (n+1)^n-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que n^2 divide (n+1)^n - 1 para todo inteiro positivo n. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema Binomial e argumentos de divisibilidade em módulo.

Passo 2

Aplicamos o Teorema Binomial para expandir (n+1)^n:
(n+1)^n ;=;sumk=0^nbinomnk,n^k

Passo 3

Na soma anterior, o termo para k=0 é
binomn0n^0 = 1
Para k=1 temos
binomn1n^1 = ncdot n = n^2,
que já é múltiplo de n^2. Se k>=2, então
binomnk traz um fator n e n^k traz pelo menos n^2, de modo que
binomnkn^k é também múltiplo de n^2. Logo, todos os termos com k>=1 são divisíveis por n^2.

Passo 4

Somando tudo, fica
(n+1)^n ;=;1 + (mú<iplo de n^2), ú
ou seja,
(n+1)^n equiv 1 pmodn^2
Isso implica que n^2 divide (n+1)^n - 1.

Resposta

Como queríamos, para todo inteiro positivo n vale
n^2 mid l((n+1)^n - 1r)

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