Encontre a derivada da função.
f(x)=e^sen^2(x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = e^sen^2l(x^2r)
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos várias composições: a exponencial e^u, depois u=sen^2(v) e finalmente v=x^2. Vamos aplicar a regra da cadeia em etapas.

Passo 2

Primeiro, definimos
u(x) = sen^2l(x^2r),
de modo que
f(x) = e^u(x)
Pela regra da cadeia, a derivada de f é
f'(x) = e^u(x) cdot u'(x)

Passo 3

Agora, calculamos u'(x) para
u(x) = l(sen(x^2)r)^2
Tratando sen(x^2) como uma função interna w(x), ou seja, w(x)=sen(x^2), temos
u(x)=l(w(x)r)^2 Longrightarrow u'(x)=2,w(x)cdot w'(x)

Passo 4

Falta w'(x) para w(x)=sen(x^2). Usando regra da cadeia outra vez:
w(x)=sen(v) com v=x^2,
então
w'(x)=cos(v)cdot v'(x) =cosl(x^2r)cdot 2x
Substituindo em u'(x)=2,w(x),w'(x) obtemos
u'(x) =2,senl(x^2r) cdotl[cosl(x^2r)cdot 2xr] =4x,senl(x^2r)cosl(x^2r)

Passo 5

Voltando em f'(x)=e^u(x)cdot u'(x), temos
f'(x) =e^sen^2(x^2) cdot l[4x,sen(x^2)cos(x^2)r]
Podemos deixar assim ou usar a identidade trigonométrica
sin(2theta)=2sinthetacostheta para simplificar o fator trigonométrico:
4x,sen(x^2)cos(x^2) =2xcdotl[2sin(x^2)cos(x^2)r] =2x,sinl(2x^2r)

Resposta

boxedf'(x)=4x,sen(x^2)cos(x^2);e^sen^2(x^2) ou f'(x)=2x,sinl(2x^2r);e^sin^2(x^2)

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