Encontre a derivada da função.
y=(3^cos (x^2)-1)^4

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = l(3^cos(x^2) - 1r)^4,
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, aplicada em duas camadas: primeiro na potência quarta e depois na função exponencial 3^cos(x^2).

Passo 2

Definimos
u = 3^cos(x^2) - 1,
assim y = u^4. Pela regra da cadeia,
dydx = 4,u^3 ,dudx

Passo 3

Agora calculemos dfracdudx. Como u = 3^cos(x^2) - 1, temos
dudx = ddxl(3^cos(x^2)r) = 3^cos(x^2) ,ln(3),ddxl[cos(x^2)r]

Passo 4

Falta dfracddx[cos(x^2)]. Usando a cadeia de novo,
ddx[cos(x^2)] = -sin(x^2),ddx(x^2) = -sin(x^2),(2x) = -2x,sin(x^2)
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dudx = 3^cos(x^2),ln(3),(-2x,sin(x^2))

Resposta

Substituindo em dfracdydx = 4,u^3,dfracdudx, obtemos
dydx = 4l(3^cos(x^2) - 1r)^3 l[3^cos(x^2),ln(3),(-2x,sin(x^2))r]
ou, de forma mais compacta,
dydx = -8x,ln(3),sin(x^2),3^cos(x^2)l(3^cos(x^2) - 1r)^3

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