Encontre a derivada da função.
f(t)=e^1 / t raizt^2-1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=e^1/t,raizt^2-1
Isso envolve produto de duas funções u(t)=e^1/t e v(t)=l(t^2-1r)^1/2. Vamos usar a regra do produto e, em seguida, a regra da cadeia para cada uma.

Passo 2

Calcular u'(t) com u(t)=e^1/t. Pela regra da cadeia,
u'(t)=e^1/tcdotddtl(1/tr) =e^1/tcdotl(-tfrac1t^2r) =-e^1/tt^2

Passo 3

Calcular v'(t) com v(t)=l(t^2-1r)^1/2. Pela regra da cadeia,
v'(t)=12l(t^2-1r)^-1/2cdot 2t =traizt^2-1

Passo 4

Aplicar a regra do produto:
f'(t)=u'(t),v(t)+u(t),v'(t) =-e^1/tt^2raizt^2-1 +e^1/ttraizt^2-1

Passo 5

Colocar em forma simplificada extraindo e^1/t e unificando denominadores:
f'(t) =e^1/tl(-tfracraizt^2-1t^2+tfractraizt^2-1r) =e^1/t,t^3-t^2+1t^2,raizt^2-1

Resposta

f'(t) =e^1/tl(-raizt^2-1t^2+traizt^2-1r) =e^1/t,l(t^3-t^2+1r)t^2,raizt^2-1

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