1. y^prime prime prime-8 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=4

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - 8y = 0
e as condições iniciais
y(0)=0, y'(0)=4
Para resolver, vamos achar primeiro a solução geral usando o polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado à equação:
r^3 - 8 = 0
As raízes de r^3=8 são
r = raiz[3]8 = 2, r = 2,omega, r = 2,omega^2,
onde omega=e^2pi i/3 é a raiz cúbica primitiva de 1.

Passo 3

Daí a solução geral complexa é
y(x) = C1 e^2x + C2 e^2omega x + C3 e^2omega^2 x
Podemos, se quisermos, reescrever em termos de funções reais, mas o ponto chave é que há três constantes arbitrárias C1,C2,C3.

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais disponíveis. De
y(0)=C1 + C2 + C3 = 0
e
y'(x)=2C1 e^2x + 2omega C2 e^2omega x + 2omega^2 C3 e^2omega^2 x
segue
y'(0)=2C1 + 2omega C2 + 2omega^2 C3 = 4

Passo 5

Observe que, sendo uma EDO de terceira ordem, precisamos de três condições iniciais (valores de y(0), y'(0) e y''(0)) para determinar única e completamente as constantes C1,C2,C3. Aqui só temos duas condições, então falta a informação de y''(0).

Resposta

Não é possível obter uma solução única sem a condição inicial em y''(0); há uma família de soluções dependente desse valor que não foi fornecido.

Exercícios relacionados