Encontre a derivada da função dada usando a definição. Ache um ou vários pontos sobre o gráfico da função em que a reta tangente é paralela à reta dada:
f(x)=x^2-x ; reta: -2 x+y=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) calcular a derivada de f(x)=x^2 - x usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h,
e (ii) encontrar os pontos em que a reta tangente é paralela à reta dada -2x+y=0. Para isso precisamos usar a definição de derivada e a relação entre derivada e coeficiente angular da reta tangente.

Passo 2

Aplicando a definição de derivada, calcule o quociente de diferença:
f(x+h)-f(x) = l[(x+h)^2 - (x+h)r] - l[x^2 - xr]
Desenvolvendo:
(x+h)^2 - (x+h) = x^2 + 2xh + h^2 - x - h
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f(x+h)-f(x) = l(x^2 + 2xh + h^2 - x - hr) - l(x^2 - xr) = 2xh + h^2 - h
Dividindo por h e tomando o limite:
f'(x)=limhto02xh + h^2 - hh =limhto0l(2x + h - 1r) =2x - 1

Passo 3

A reta dada é -2x+y=0, ou seja y=2x. O coeficiente angular dessa reta é m=2. Para que a reta tangente em um ponto seja paralela a essa reta, sua inclinação deve ser igual a 2.

Passo 4

Igualamos a derivada ao coeficiente angular 2:
f'(x)=2x-1=2 Longrightarrow 2x=3 Longrightarrow x=32
Agora calculamos o ponto no gráfico:
y=fl(tfrac32r) =l(tfrac32r)^2 - tfrac32 =94-64 =34

Resposta

A derivada é
f'(x)=2x-1
e o único ponto onde a reta tangente é paralela a -2x+y=0 é
l(tfrac32,tfrac34r)

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