Encontre o valor de f^prime(x) no valor de x indicado utilizando a definição de derivada de uma função no ponto.
f(x)=x^4-2 x em x=-1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x^4-2x no ponto x=-1 usando a definição de derivada de uma função em um ponto, ou seja, o limite do quociente incremental.

Passo 2

A definição de derivada no ponto a é
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h
Para o nosso caso, temos a=-1.

Passo 3

Calculamos primeiro f(-1+h) e f(-1).
f(-1+h)=(-1+h)^4-2(-1+h)
Pelo binômio de Newton,
(-1+h)^4=1-4h+6h^2-4h^3+h^4,
logo
f(-1+h)=l(1-4h+6h^2-4h^3+h^4r)+2-2h=3-6h+6h^2-4h^3+h^4
E
f(-1)=(-1)^4-2(-1)=1+2=3

Passo 4

Substituímos no quociente incremental e simplificamos:
f(-1+h)-f(-1)h =(3-6h+6h^2-4h^3+h^4)-3h =-6h+6h^2-4h^3+h^4h =-6+6h-4h^2+h^3

Passo 5

Agora calculamos o limite quando hto0:
limhto0l(-6+6h-4h^2+h^3r)=-6
Esse valor é a derivada de f em -1.

Resposta

f'(-1)=-6

Exercícios relacionados