Encontre o valor de f^prime(x) no valor de x indicado utilizando a definição de derivada de uma função no ponto.
f(x)=1x em x=3;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=tfrac1x no ponto x=3 usando a definição de derivada no ponto. Vamos aplicar a definição como limite do quociente incremental.

Passo 2

A definição de derivada em a é
f'(a) = limh to 0 f(a+h)-f(a)h
Substituindo a=3 e f(x)=tfrac1x, temos
f'(3) = limhto0 13+h - 13h

Passo 3

Vamos simplificar o numerador:
13+h - 13 = 3 - (3+h)3(3+h) = -h3(3+h)
Então o quociente fica
-h3(3+h)h = -h3(3+h) cdot 1h = -13(3+h)

Passo 4

Agora fazemos o limite quando h to 0:
f'(3) = limhto0 l(-13(3+h)r) = -13cdot3 = -19

Resposta

f'(3) = -19

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