Encontre o valor de f^prime(x) no valor de x indicado utilizando a definição de derivada de uma função no ponto.
f(x)=x^3-2 x+1 em x=raiz5;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de f(x)=x^3-2x+1 no ponto x0=raiz5 usando a definição de derivada em um ponto. Vamos usar o limite fundamental
f'(x0)=limhto0f(x0+h)-f(x0)h

Passo 2

Aplicando a definição em x0=raiz5, temos
f'(raiz5) =limhto0(raiz5+h)^3-2(raiz5+h)+1-l((raiz5)^3-2raiz5+1r)h

Passo 3

Vamos expandir o numerador:
(raiz5+h)^3 =(raiz5)^3+3(raiz5)^2h+3raiz5,h^2+h^3,
-2(raiz5+h) =-2raiz5-2h,
e subtraindo (raiz5)^3-2raiz5+1 cancela os termos constantes, sobrando
num =3(raiz5)^2h+3raiz5,h^2+h^3-2h

Passo 4

Dividindo o numerador por h e simplificando, obtemos
numh =3(raiz5)^2+3raiz5,h+h^2-2
Agora basta tomar o limite quando hto0:

Passo 5

f'(raiz5) =limhto0l(3(raiz5)^2+3raiz5,h+h^2-2r) =3cdot5-2 =15-2 =13

Resposta

f'(raiz5)=13

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