Resolva os PVI’s sabendo que são EDO’s de Bernoulli.
lx d y-(y+x y^3(1+ln (x))) d x=0 y(1)=-1

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x,dy-l(y+x,y^3(1+ln(x))r),dx=0
com condição inicial y(1)=-1.
Isso é uma equação de Bernoulli, pois ao escrever em forma dydx+P(x),y=Q(x),y^n temos n=3.

Passo 2

Dividindo por x e isolando dydx obtemos
dydx=yx+y^3(1+ln(x))
ou seja
dydx-1x,y=(1+ln(x)),y^3,
logo P(x)=-tfrac1x, Q(x)=1+ln(x), n=3.

Passo 3

Na Bernoulli fazemos a substituição
u=y^1-n=y^-2
Derivando,
dudx=-2,y^-3,dydx
Substituindo dydx=yx+y^3(1+ln x)
dudx =-2,y^-3l(yx+y^3(1+ln x)r) =-2x,y^-2-2(1+ln x) =-2x,u-2(1+ln x)
Reorganizando, obtemos a EDO linear em u:
dudx+2x,u=-2l(1+ln(x)r)

Passo 4

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral2x,dxr)=x^2
Multiplicando a EDO em u por x^2:
ddxl(x^2ur) =x^2l(-2-2ln(x)r) =-2x^2-2x^2ln(x)
Integramos em x:
x^2u =integrall(-2x^2-2x^2ln(x)r),dx =-2x^33 -2!integral x^2ln(x),dx =-2x^33 -23x^3ln(x)+2x^39+C
Agrupando termos:
x^2u =-23x^3ln(x)-49x^3+C,
logo
u=y^-2 =-23xln(x)-49x+Cx^-2

Passo 5

Impondo y(1)=-1 implica u(1)=(-1)^-2=1. Assim
1=-23cdot1cdot0-49cdot1+Ccdot1^-2 Longrightarrow C=1+49=139
Portanto
y^-2 =-23xln(x)-49x+139x^-2

Passo 6

Como y(1)=-1<0, escolhemos o sinal negativo ao extrair a raiz. Assim
y(x) =-l(-tfrac23xln(x)-tfrac49x+tfrac139x^-2r)^-tfrac12

Resposta

boxed y(x) =-l(-tfrac23xln(x)-tfrac49x+tfrac139x^-2r)^-tfrac12

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