Encontre a derivada da função dada usando a definição. Ache um ou vários pontos sobre o gráfico da função em que a reta tangente é paralela à reta dada:
f(x)=6 raizx+2 ; reta: -x+y=2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) calcular a derivada de f(x)=6raizx+2 usando a definição de derivada por limite, e (ii) encontrar o(s) ponto(s) do gráfico onde a reta tangente é paralela à reta dada -x+y=2. Vamos precisar aplicar o limite da diferença quociente e igualar o coeficiente angular da tangente ao da reta dada.

Passo 2

Pela definição,
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h =limhto06raizx+2+h-6raizx+2h
Para simplificar usamos a conjugada no numerador:
6l(raizx+2+h-raizx+2r)h cdotraizx+2+h+raizx+2raizx+2+h+raizx+2 =6,hhl(raizx+2+h+raizx+2r) =6raizx+2+h+raizx+2

Passo 3

Fazendo hto0 no resultado acima, obtemos
f'(x)=62raizx+2 =3raizx+2

Passo 4

A reta dada -x+y=2 pode ser escrita como y=x+2, cujo coeficiente angular é 1. Para que a tangente à curva seja paralela a essa reta, basta impor
f'(x)=1 Longrightarrow 3raizx+2=1 Longrightarrow raizx+2=3 Longrightarrow x=7

Passo 5

O valor de y no ponto x=7 é
f(7)=6raiz7+2=6cdot3=18
Portanto, o ponto buscado é (7,18).

Resposta

f'(x)=3raizx+2
O ponto em que a reta tangente é paralela a -x+y=2 é (7,18).

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