Nos problemas 21-26, resolva os problemas de valor inicial dados.
(\left(\frac{3 y{2}-t{2}}{y^{5}}\right) \frac{d y}{d t}+\frac{t}{2 y^{4}}=0, \quad y(1)=1)
(\left(\frac{3 y{2}-t{2}}{y^{5}}\right) \frac{d y}{d t}+\frac{t}{2 y^{4}}=0, \quad y(1)=1)
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
Isso é uma equação de primeira ordem no formato
com
Vamos resolver usando fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Testamos a exatidão:
não são iguais, logo não é exata. Procuramos um fator integrante
. Para isso usamos
que depende só de
. Logo
Passo 3
Multiplicamos toda a equação por
, obtendo
que agora é exata. Logo existe
tal que
Integramos a primeira em
:
Passo 4
Diferenciando em
e igualando a
obtemos
portanto
é constante. A solução implícita é
Multiplicando por
:
Passo 5
Aplicando
:
Ficamos com
Trate como equação quadrática em
:
Como
, escolhemos o sinal “
”. Assim
e portanto