Nos problemas 21-26, resolva os problemas de valor inicial dados.
(\left(\frac{3 y{2}-t{2}}{y^{5}}\right) \frac{d y}{d t}+\frac{t}{2 y^{4}}=0, \quad y(1)=1)

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
l(3y^2-t^2y^5r)dydt+t2y^4=0, y(1)=1
Isso é uma equação de primeira ordem no formato
M(y,t),dy+N(y,t),dt=0
com
M(y,t)=3y^2-t^2, N(y,t)=t,y2
Vamos resolver usando fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Testamos a exatidão:
partial Mpartial t=-2t, partial Npartial y=t2,
não são iguais, logo não é exata. Procuramos um fator integrante mu(y). Para isso usamos
Mt-NyN =-2t-tfract2tfract,y2 =-tfrac5t2tfract,y2 =-5y,
que depende só de y. Logo
mu(y)=exp!l(integral -5y,dyr) =y^-5

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(y)=y^-5, obtendo
l(3y^2-t^2y^5r)dy +l(t,y2y^5r)dt =0,
que agora é exata. Logo existe psi(y,t) tal que
partial psipartial y =3y^2-t^2y^5, partial psipartial t =t2y^4
Integramos a primeira em y:
psi(y,t) =integrall(3y^-3-t^2y^-5r),dy =-32y^-2+t^24y^-4+h(t)

Passo 4

Diferenciando em t e igualando a partialpsi/partial t obtemos
partialpsipartial t =t2y^-4+h'(t) overset!=t2y^-4 ;Longrightarrow;h'(t)=0,
portanto h é constante. A solução implícita é
-32y^-2+t^24y^-4=C
Multiplicando por 4y^4:
-6y^2+t^2=K,y^4, K=4C

Passo 5

Aplicando y(1)=1:
-6cdot1+1=Kcdot1 ;Longrightarrow; K=-5
Ficamos com
5y^4-6y^2+t^2=0
Trate como equação quadrática em z=y^2:
5z^2-6z+t^2=0 ;Longrightarrow; z=6pmraiz36-20t^210 =3pmraiz9-5t^25
Como y(1)=1>0, escolhemos o sinal “ +”. Assim
y^2(t)=3+raiz9-5t^25,
e portanto
y(t) =raiz3+raiz9-5t^25

Resposta

y(t)=raiz3+raiz9-5t^25

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