Seja
então
a)
Calcule
b)
Calcule
c)
Mostre que existe
tal que
.
d)
Calcule o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula do ponto
até o ponto
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente tem um campo vetorial
. O que a gente precisa fazer é:
a) Calcular o rotacional de
.
b) Calcular a divergente de
.
c) Mostrar que existe uma função
tal que
.
d) Calcular o trabalho realizado por
para mover uma partícula do ponto
até
.
Para tudo isso, vamos precisar usar conceitos de vetores como rotacional, divergente, campos conservativos e integrais de linha. Vamos passo a passo!
Passo 2
a) Calculando o rotacional de
O rotacional, ou
, é uma medida de quanta “circularidade” o campo vetorial tem. A fórmula para calcular é:
Vamos calcular cada componente:
Então, a componente
fica:
Componente
:
Componente
:
Então, o rotacional de
é:
Passo 3
b) Calculando a divergente de
A divergente, ou
, mede quanto o campo “espalha” ou “converge” em um ponto. A fórmula é:
Vamos calcular cada derivada:
-
(pois não tem ) -
-
Somando tudo:
Passo 4
c) Mostrando que existe
tal que
Para existir uma função potencial
tal que
, o campo
precisa ser conservativo. Uma condição para isso é que o rotacional de
seja zero.
Já vimos no item a) que
. Então,
é conservativo, e existe sim uma função
tal que
.
Passo 5
d) Calculando o trabalho realizado pelo campo
Como
é conservativo, o trabalho realizado depende apenas dos pontos inicial e final, e pode ser calculado usando a diferença dos potenciais.
Primeiro, vamos encontrar
tal que
.
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos em relação a
e igualamos a
:
Então,
depende só de
:
Derivando em relação a
e igualando a
:
Então,
é uma constante, que podemos tomar como zero. Assim:
Agora, o trabalho
é:
Calculando:
Então:
Resposta
a)
b)
c) Existe uma função
tal que
d) O trabalho realizado pelo campo
é