Seja F(x, y, z)=y^2 z^3 i+2 x y z^3 j+3 x y^2 z^2 k então
a) (0,5 pt) Calcule rot F
b) (0,5 pt) Calcule div F
c) (0,5 pt) Mostre que existe f(x, y, z) tal que nabla f=F.
d) (0,5 pt) Calcule o trabalho realizado pelo campo F para mover uma partícula do ponto (1,0,1) até o ponto (3,-2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente tem um campo vetorial F(x, y, z) = y^2 z^3 i + 2 x y z^3 j + 3 x y^2 z^2 k. O que a gente precisa fazer é:
a) Calcular o rotacional de F.
b) Calcular a divergente de F.
c) Mostrar que existe uma função f(x, y, z) tal que nabla f = F.
d) Calcular o trabalho realizado por F para mover uma partícula do ponto (1,0,1) até (3,-2,0).
Para tudo isso, vamos precisar usar conceitos de vetores como rotacional, divergente, campos conservativos e integrais de linha. Vamos passo a passo!

Passo 2

a) Calculando o rotacional de F
O rotacional, ou rot F, é uma medida de quanta “circularidade” o campo vetorial tem. A fórmula para calcular é:
rot F = nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
  • partial Fzpartial y = partialpartial y(3x y^2 z^2) = 6x y z^2
  • partial Fypartial z = partialpartial z(2x y z^3) = 6x y z^2
Então, a componente i fica: 6x y z^2 - 6x y z^2 = 0
  • partial Fxpartial z = partialpartial z(y^2 z^3) = 3y^2 z^2
  • partial Fzpartial x = partialpartial x(3x y^2 z^2) = 3 y^2 z^2
Componente j: 3y^2 z^2 - 3y^2 z^2 = 0
  • partial Fypartial x = partialpartial x(2x y z^3) = 2 y z^3
  • partial Fxpartial y = partialpartial y(y^2 z^3) = 2y z^3
Componente k: 2y z^3 - 2y z^3 = 0
Então, o rotacional de F é:
rot F = 0 i + 0 j + 0 k = 0

Passo 3

b) Calculando a divergente de F
A divergente, ou div F, mede quanto o campo “espalha” ou “converge” em um ponto. A fórmula é:
div F = nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos calcular cada derivada:
  • partial Fxpartial x = partialpartial x(y^2 z^3) = 0 (pois não tem x)
  • partial Fypartial y = partialpartial y(2x y z^3) = 2x z^3
  • partial Fzpartial z = partialpartial z(3x y^2 z^2) = 6x y^2 z
Somando tudo:
div F = 0 + 2x z^3 + 6x y^2 z = 2x z^3 + 6x y^2 z

Passo 4

c) Mostrando que existe f(x, y, z) tal que nabla f = F
Para existir uma função potencial f tal que nabla f = F, o campo F precisa ser conservativo. Uma condição para isso é que o rotacional de F seja zero.
Já vimos no item a) que rot F = 0. Então, F é conservativo, e existe sim uma função f(x, y, z) tal que nabla f = F.

Passo 5

d) Calculando o trabalho realizado pelo campo F
Como F é conservativo, o trabalho realizado depende apenas dos pontos inicial e final, e pode ser calculado usando a diferença dos potenciais.
Primeiro, vamos encontrar f(x, y, z) tal que nabla f = F.
Integrando Fx em relação a x:
f(x, y, z) = integral y^2 z^3 dx = y^2 z^3 x + g(y, z)
Agora, derivamos em relação a y e igualamos a Fy:
partial fpartial y = 2y z^3 x + partial gpartial y = 2x y z^3 implies partial gpartial y = 0
Então, g depende só de z:
f(x, y, z) = y^2 z^3 x + h(z)
Derivando em relação a z e igualando a Fz:
partial fpartial z = 3y^2 z^2 x + h'(z) = 3x y^2 z^2 implies h'(z) = 0
Então, h(z) é uma constante, que podemos tomar como zero. Assim:
f(x, y, z) = x y^2 z^3
Agora, o trabalho W é:
W = f(3, -2, 0) - f(1, 0, 1)
Calculando:
f(3, -2, 0) = 3 times (-2)^2 times 0^3 = 3 times 4 times 0 = 0
f(1, 0, 1) = 1 times 0^2 times 1^3 = 0
Então:
W = 0 - 0 = 0

Resposta

a) rot F = 0
b) div F = 2x z^3 + 6x y^2 z
c) Existe uma função f(x, y, z) = x y^2 z^3 tal que nabla f = F
d) O trabalho realizado pelo campo F é 0

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