Resolva os PVI’s (miscelânia).
l(4 x^2 y+e^x) d x+x^3 d y=0 y(1)=7

Passo 1

A questão dá um PVI da forma (4x²y + eˣ)dx + x³dy = 0 com y(1)=7. O conteúdo aqui é equação diferencial de primeira ordem em forma diferencial, testamos exatidão e, se necessário, usamos fator integrante.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=4x²y + eˣ e N(x,y)=x³. Calculamos ∂M/∂y=4x² e ∂N/∂x=3x². Como 4x²≠3x², a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante que dependa só de x. Usamos a fórmula μ(x)=exp(∫(∂M/∂y - ∂N/∂x)/N dx). Aqui

Passo 4

partial M/partial y - partial N/partial xN=4x^2-3x^2x^3=1x,

Passo 5

logo

Passo 6

mu(x)=expl(integral1x,dxr)=x

Passo 7

Multiplicamos a equação original por μ(x)=x e obtemos

Passo 8

(4x^3y + x e^x),dx + x^4,dy=0,

Passo 9

que é exata, pois agora ∂(4x³y+xeˣ)/∂y=4x³ e ∂(x⁴)/∂x=4x³.

Passo 10

Para achar a função potencial Φ(x,y), integramos o novo M~ em x:

Passo 11

Phi(x,y)=integral(4x^3y + x e^x),dx=y x^4+l(x-1r)e^x+h(y)

Passo 12

Derivando Φ em y e igualando a N~: ∂Φ/∂y=x⁴+h’(y)=x⁴, logo h’(y)=0 e h(y) é constante.

Passo 13

A solução implícita geral é Φ(x,y)=C, ou seja,

Passo 14

x^4y+(x-1)e^x=C

Passo 15

Aplicando y(1)=7: 1⁴·7+(1-1)e¹=7 ⇒ C=7.

Passo 16

Isolando y, a solução do PVI fica:

Passo 17

y=7-(x-1)e^xx^4

Resposta

y=7-(x-1)e^xx^4

Exercícios relacionados