Resolva os PVI’s (miscelânia).
Passo 1
A questão dá um PVI da forma (4x²y + eˣ)dx + x³dy = 0 com y(1)=7. O conteúdo aqui é equação diferencial de primeira ordem em forma diferencial, testamos exatidão e, se necessário, usamos fator integrante.
Passo 2
Identificamos M(x,y)=4x²y + eˣ e N(x,y)=x³. Calculamos ∂M/∂y=4x² e ∂N/∂x=3x². Como 4x²≠3x², a equação não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante que dependa só de x. Usamos a fórmula μ(x)=exp(∫(∂M/∂y - ∂N/∂x)/N dx). Aqui
Passo 4
Passo 5
logo
Passo 6
Passo 7
Multiplicamos a equação original por μ(x)=x e obtemos
Passo 8
Passo 9
que é exata, pois agora ∂(4x³y+xeˣ)/∂y=4x³ e ∂(x⁴)/∂x=4x³.
Passo 10
Para achar a função potencial Φ(x,y), integramos o novo M~ em x:
Passo 11
Passo 12
Derivando Φ em y e igualando a N~: ∂Φ/∂y=x⁴+h’(y)=x⁴, logo h’(y)=0 e h(y) é constante.
Passo 13
A solução implícita geral é Φ(x,y)=C, ou seja,
Passo 14
Passo 15
Aplicando y(1)=7: 1⁴·7+(1-1)e¹=7 ⇒ C=7.
Passo 16
Isolando y, a solução do PVI fica: