4^a Questão ( 9 pts ) Considere a função
f(x)=(x^2-x) sen(x^2)+2 x^2-1
(a) Explique por que f(x) é uma função contínua em R.
(b) Explique por que f(x) tem pelo menos uma raiz (ou seja, um ponto a in R tal f(a)=0 ) entre x=0 e x=1.

Passo 1

Beleza, temos a função
f(x) ;=;(x^2 - x),sinl(x^2r);+;2x^2;-;1
O assunto aqui é continuidade de funções e o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano). Pra resolver, precisamos lembrar que polinômios e sin são contínuos; soma, produto e composição de funções contínuas continuam contínuas; e que, se uma função contínua troca de sinal num intervalo, ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

(a) Queremos mostrar que f é contínua em R. Tranquilo:
  1. x^2 e -x são polinômios, logo contínuos.
  2. sin é contínua em todo lugar, então sin(x^2) (composição) também é contínua.
  3. O produto (x^2 - x),sin(x^2) é produto de contínuas, logo contínuo.
  4. 2x^2 e -1 são contínuos.
  5. Soma de todas essas partes dá f, que então é contínua em R.

Passo 3

(b) Agora, pra provar que existe pelo menos uma raiz entre 0 e 1, avaliamos os extremos:
f(0) = (0-0)sin(0) + 2cdot0^2 - 1 = -1 < 0,
f(1) = (1-1)sin(1) + 2cdot1^2 - 1 = 1 > 0
Como f é contínua em [0,1] e f(0) e f(1) têm sinais opostos, o Teorema de Bolzano garante que existe pelo menos um c in (0,1) tal que f(c)=0.

Resposta

f é contínua em R e possui pelo menos uma raiz em (0,1).

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