Questão ( 9 pts ) Considere a função
(a) Explique por que
é uma função contínua em
.
(b) Explique por que
tem pelo menos uma raiz (ou seja, um ponto
tal
) entre
e
.
(b) Explique por que
Passo 1
Beleza, temos a função
O assunto aqui é continuidade de funções e o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano). Pra resolver, precisamos lembrar que polinômios e
são contínuos; soma, produto e composição de funções contínuas continuam contínuas; e que, se uma função contínua troca de sinal num intervalo, ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 2
(a) Queremos mostrar que
é contínua em
. Tranquilo:
-
e são polinômios, logo contínuos. -
é contínua em todo lugar, então (composição) também é contínua. - O produto
é produto de contínuas, logo contínuo. -
e são contínuos. - Soma de todas essas partes dá
, que então é contínua em .
Passo 3
(b) Agora, pra provar que existe pelo menos uma raiz entre 0 e 1, avaliamos os extremos:
Como
é contínua em
e
e
têm sinais opostos, o Teorema de Bolzano garante que existe pelo menos um
tal que
.