Usando as identidades dadas nos dois exercícios anteriores, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar duas identidades envolvendo as funções hiperbólicas
e
com argumentos complexos. O conteúdo aqui envolve conhecimento de funções hiperbólicas e números complexos. Vamos precisar das definições de
e
, além de saber como lidar com números complexos na forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das definições das funções hiperbólicas:
Essas fórmulas vão nos ajudar a expandir
e
usando exponenciais.
Passo 3
Vamos calcular
usando a definição:
Simplificando o expoente no denominador:
Passo 4
Agora, vamos separar as exponenciais em partes reais e imaginárias usando a fórmula de Euler, que diz que
:
Passo 5
Substituindo essas expressões na fórmula da
:
Passo 6
Vamos distribuir os termos dentro dos parênteses:
Passo 7
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 8
Reconhecendo as definições de
e
:
Substituímos esses valores na expressão:
Passo 9
Agora, vamos repetir o mesmo processo para
. Começamos com a definição:
Passo 10
Substituímos pelas exponenciais já separadas:
Distribuindo os termos:
Agrupando:
Substituindo por
e
:
Resposta
Portanto, mostramos que: