Usando as identidades dadas nos dois exercícios anteriores, mostre que
sinh(x + i y) = sinh(x) * cos(y) + i * cosh(x) * sin(y)
cosh(x + i*y) = cosh(x)*cos(y) + i*sinh(x)*sin(y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar duas identidades envolvendo as funções hiperbólicas e com argumentos complexos. O conteúdo aqui envolve conhecimento de funções hiperbólicas e números complexos. Vamos precisar das definições de e , além de saber como lidar com números complexos na forma .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções hiperbólicas:
Essas fórmulas vão nos ajudar a expandir e usando exponenciais.

Passo 3

Vamos calcular usando a definição:
Simplificando o expoente no denominador:

Passo 4

Agora, vamos separar as exponenciais em partes reais e imaginárias usando a fórmula de Euler, que diz que :

Passo 5

Substituindo essas expressões na fórmula da :

Passo 6

Vamos distribuir os termos dentro dos parênteses:

Passo 7

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 8

Reconhecendo as definições de e :
Substituímos esses valores na expressão:

Passo 9

Agora, vamos repetir o mesmo processo para . Começamos com a definição:

Passo 10

Substituímos pelas exponenciais já separadas:
Distribuindo os termos:
Agrupando:
Substituindo por e :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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