Esboçe o gráfico da função (cosseno hiperbólico)
, seguindo os seguintes passos:
a) Localize e identifique, se houver, os extremos locais (máximos e/ou mínimos locais) de
.
b) Determine os intervalos onde
é crescente e os intervalos onde
decrescente.
c) Determine onde o gráfico de
é côncava para cima e onde é côncava para baixo.
d) A partir dos itens anteriores, esboçe um possível gráfico de
.
Lembrete:
a) Localize e identifique, se houver, os extremos locais (máximos e/ou mínimos locais) de
b) Determine os intervalos onde
c) Determine onde o gráfico de
d) A partir dos itens anteriores, esboçe um possível gráfico de
Passo 1
O enunciado pede para fazermos a análise completa de
encontrando extremos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e, por fim, um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar as derivadas primeira e segunda de
.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira usando
e
:
As soluções de
vêm de
, que ocorre somente em
.
Passo 3
Para determinar onde
cresce ou decresce, estudamos o sinal de
:
– Se , então
, logo
e
é decrescente em
.
– Se , então
, logo
e
é crescente em
.
Em a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local em
– Se
– Se
Em
Não há máximos locais, apenas esse mínimo.
Passo 4
Calculamos a derivada segunda para analisar a concavidade:
Como
para todo
, segue que
em
. Portanto o gráfico é côncavo para cima em toda a reta real e não há pontos de inflexão.
Passo 5
Com base nos itens anteriores, o esboço de
é:
– Curva simétrica em relação ao eixo (função par).
– Mínimo global e local em .
– Decrescente até e crescente para
.
– Sempre côncava para cima, aproximando-se de ramos exponenciais quando cresce.
– Curva simétrica em relação ao eixo
– Mínimo global e local em
– Decrescente até
– Sempre côncava para cima, aproximando-se de ramos exponenciais quando
Em termos de forma: o gráfico parece um “U” arredondado, mas cresce exponencialmente para
.
Resposta
a) Há um único extremo local (e global): mínimo em
. Não há máximos locais.
b) é decrescente em
e crescente em
.
c) é côncava para cima em toda a reta real; não há concavidade para baixo.
d) Esboço: curva em “U” simétrica, mínimo em e crescimento exponencial para
.
b)
c)
d) Esboço: curva em “U” simétrica, mínimo em