(3,0) Esboçe o gráfico da função (cosseno hiperbólico) f(x)=\operatorname{cosh} (x), x \in \mathbb{R}, seguindo os seguintes passos:
a) Localize e identifique, se houver, os extremos locais (máximos e/ou mínimos locais) de f.
b) Determine os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f decrescente.
c) Determine onde o gráfico de f é côncava para cima e onde é côncava para baixo.
d) A partir dos itens anteriores, esboçe um possível gráfico de f.
Lembrete: \operatorname{cosh} x=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para fazermos a análise completa de
f(x)=\operatorname{cosh}(x),\quad x\in\mathbb{R},
encontrando extremos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e, por fim, um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar as derivadas primeira e segunda de \operatorname{cosh}(x).

Passo 2

Calculamos a derivada primeira usando \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e \frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}:
f'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x) =\frac{1}{2}\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr) =\operatorname{sinh}(x).
As soluções de f'(x)=0 vêm de \operatorname{sinh}(x)=0, que ocorre somente em x=0.

Passo 3

Para determinar onde f cresce ou decresce, estudamos o sinal de \operatorname{sinh}(x):
– Se x<0, então \operatorname{sinh}(x)<0, logo f'(x)<0 e f é decrescente em (-\infty,0).
– Se x>0, então \operatorname{sinh}(x)>0, logo f'(x)>0 e f é crescente em (0,\infty).
Em x=0 a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local em
(x,f(x))=(0,\operatorname{cosh}(0))=(0,1).
Não há máximos locais, apenas esse mínimo.

Passo 4

Calculamos a derivada segunda para analisar a concavidade:
f''(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sinh}(x)=\operatorname{cosh}(x).
Como \operatorname{cosh}(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}, segue que f''(x)>0 em \mathbb{R}. Portanto o gráfico é côncavo para cima em toda a reta real e não há pontos de inflexão.

Passo 5

Com base nos itens anteriores, o esboço de f(x)=\operatorname{cosh}(x) é:
– Curva simétrica em relação ao eixo y (função par).
– Mínimo global e local em (0,1).
– Decrescente até x=0 e crescente para x>0.
– Sempre côncava para cima, aproximando-se de ramos exponenciais quando |x| cresce.
Em termos de forma: o gráfico parece um “U” arredondado, mas cresce exponencialmente para x\to\pm\infty.

Resposta

a) Há um único extremo local (e global): mínimo em (0,1). Não há máximos locais.
b) f é decrescente em (-\infty,0) e crescente em (0,\infty).
c) f é côncava para cima em toda a reta real; não há concavidade para baixo.
d) Esboço: curva em “U” simétrica, mínimo em (0,1) e crescimento exponencial para |x|\to\infty.

Exercícios relacionados