Questão 1. Resolva as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{10}{(x-1)\left(x^{2}+9\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{10}{(x-1)\,(x^{2}+9)}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de frações parciais, em que vamos escrever a função racional
\tfrac{10}{(x-1)(x^2+9)}
como soma de termos mais simples, cujas primitivas são conhecidas.

Passo 2

Assumimos a decomposição em frações parciais do tipo
\frac{10}{(x-1)(x^{2}+9)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^{2}+9}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^2+9), obtemos a identidade polinomial
10 = A\,(x^2+9) + (Bx + C)\,(x-1).

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A x^2 + 9A + Bx^2 - Bx + Cx - C = (A + B)\,x^2 + (C - B)\,x + (9A - C).
Comparando coeficientes com o polinômio constante 10\), temos o sistema \[\begin{cases} A + B = 0,\\\ C - B = 0,\\\\ 9A - C = 10. \end{cases}
Da primeira equação B = -A\]. Da segunda \(C = B = -A. Substituindo na terceira:
9A - (-A) = 10A = 10 \quad\Longrightarrow\quad A = 1,
logo B = -1 e C = -1.

Passo 4

Substituindo A, B e C na decomposição, a integral vira
\int \frac{10}{(x-1)(x^2+9)}\,dx = \int \frac{1}{x-1}\,dx + \int \frac{-x - 1}{x^2+9}\,dx.

Passo 5

Separamos
\int \frac{-x - 1}{x^2+9}\,dx = -\int \frac{x}{x^2+9}\,dx - \int \frac{1}{x^2+9}\,dx.
  1. Para \displaystyle \int \frac{x}{x^2+9}\,dx, usamos u = x^2+9, du = 2x\,dx, obtendo
\int \frac{x}{x^2+9}\,dx = \tfrac12 \ln\bigl(x^2+9\bigr).
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{x^2+9}\,dx, lembramos que
    \displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr).
    Aqui a^2 = 9, a=3, então
\int \frac{1}{x^2+9}\,dx = \frac{1}{3}\arctan\!\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr).

Passo 6

Juntando tudo:
\int \frac{10}{(x-1)(x^2+9)}\,dx = \ln\lvert x-1\rvert - \frac12 \ln\bigl(x^2+9\bigr) - \frac{1}{3}\arctan\!\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{10}{(x-1)(x^2+9)}\,dx = \ln\lvert x-1\rvert - \tfrac12\,\ln\bigl(x^2+9\bigr) - \tfrac{1}{3}\,\arctan\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr) + C }.

Exercícios relacionados