Utilize os conhecimentos de Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $. Vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como aplicar a transformada em derivadas e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace de $ y’’ $ é:
Como $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, isso simplifica para:
Passo 3
A Transformada de Laplace de $ y $ é simplesmente $ Y(s) $, então a transformada de $ y’’ + y $ fica:
Agora, a Transformada de Laplace de $ \sin(2x) $ é:
Passo 4
Substituindo na equação transformada, temos:
Agora, vamos isolar $ Y(s) $:
Passo 5
Para encontrar $ y(x) $, precisamos aplicar a Transformada de Laplace inversa. Primeiro, vamos fazer uma decomposição em frações parciais para simplificar a expressão.
Vamos escrever:
Multiplicando ambos os lados por $ (s^2 + 4)(s^2 + 1) $, temos:
Passo 6
Expandindo os termos:
Agora, igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para $ s^2 $:
Para os termos constantes:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Passo 8
Agora, substituindo os valores de $ A $ e $ B $ na decomposição:
Passo 9
Aplicando a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
Então:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Resposta
A solução da equação diferencial é: