Utilize os conhecimentos de Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas:
y^prime prime+y=sin (2 x)
y(0)=y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
y'' + y = sin(2x)
com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $. Vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como aplicar a transformada em derivadas e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace de $ y’’ $ é:
y''
Como $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, isso simplifica para:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)

Passo 3

A Transformada de Laplace de $ y $ é simplesmente $ Y(s) $, então a transformada de $ y’’ + y $ fica:
y
Agora, a Transformada de Laplace de $ \sin(2x) $ é:
Y(s)

Passo 4

Substituindo na equação transformada, temos:
(s^2 + 1) Y(s) = 2s^2 + 4
Agora, vamos isolar $ Y(s) $:
Y(s)

Passo 5

Para encontrar $ y(x) $, precisamos aplicar a Transformada de Laplace inversa. Primeiro, vamos fazer uma decomposição em frações parciais para simplificar a expressão.
Vamos escrever:
y(x)
Multiplicando ambos os lados por $ (s^2 + 4)(s^2 + 1) $, temos:
2(s^2 + 4)(s^2 + 1) = As^2 + 1 + Bs^2 + 4

Passo 6

Expandindo os termos:
2 = (A + B)s^2 + (4A + B)
Agora, igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para $ s^2 $:
s^2
Para os termos constantes:
A + B = 0

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Primeira equação:
A + B = 0 Rightarrow B = -A
Substituindo na segunda equação:
4A + (-A) = 2 3A = 2 A = 23
Então:
B = -23

Passo 8

Agora, substituindo os valores de $ A $ e $ B $ na decomposição:
A

Passo 9

Aplicando a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
L^-11s^2 + a^2 = sin(a x)a
Então:
y(x) = 23 cdot sin(x) - 23 cdot sin(2x)2

Passo 10

Simplificando a expressão:
y(x) = 23 sin(x) - 13 sin(2x)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 23 sin(x) - 13 sin(2x)

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