Encontre a derivada da função
f(t)=e^a t sen(b t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(t)=e^{a t},sen(b t). O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra da cadeia para funções exponencial e trigonométrica.

Passo 2

Vamos definir u(t)=e^{a t} e v(t)=\sin(b t). Assim, f(t)=u(t),v(t).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
Derivada de u(t):
u'(t)=ddte^a t=a e^a t
Derivada de v(t):
v'(t)=ddtsin(b t)=bcos(b t)

Passo 4

Aplicamos a regra do produto: f’(t)=u’(t),v(t)+u(t),v’(t).

Passo 5

Substituindo u, u’, v e v’:
f'(t)=l(a e^a tr)sin(b t)+e^a tl(bcos(b t)r)

Passo 6

Fatorando e^{a t} em evidência:
f'(t)=e^a tl(asin(b t)+bcos(b t)r)

Resposta

f’(t)=e^{a t}\bigl(a\sin(b t)+b\cos(b t)\bigr)

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