Encontre a derivada da função
F(t)=e^{t} \sin (2 t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de F(t)=e^{t}\sin(2t). Vamos usar a regra do produto (para derivar u\cdot v) e a regra da cadeia (para derivar \sin(2t)).

Passo 2

Aplicando a regra do produto, se u(t)=e^{t} e v(t)=\sin(2t), então
F'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v: u'(t)=\frac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.
Para v(t)=\sin(2t), pela regra da cadeia,
v'(t)=\frac{d}{dt}\sin(2t)=\cos(2t)\cdot\frac{d}{dt}(2t)=2\cos(2t).

Passo 4

Substituindo em F'(t):
F'(t)=e^{t}\sin(2t)+e^{t}\cdot2\cos(2t) =e^{t}\bigl(\sin(2t)+2\cos(2t)\bigr).

Resposta

F'(t)=e^{t}\bigl(\sin(2t)+2\cos(2t)\bigr).

Exercícios relacionados