R3) Resolva
y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+y=0, x>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem
y'' + 3x\,y' + y = 0,\quad x>0.
Como o coeficiente de y' depende de x, vamos usar o método de séries de potências em torno de x=0. Assumimos
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n\,x^n.

Passo 2

Calculamos as derivadas termo a termo:
y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n\,a_n\,x^{n-1},
y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n\,(n-1)\,a_n\,x^{n-2}.

Passo 3

Substituindo y, y' e y'' na EDO:
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2} \;+\; 3x\sum_{n=1}^{\infty} n\,a_n\,x^{n-1} \;+\; \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \;=\;0.
Reindexando os dois primeiros somatórios para poder somar tudo em potências x^n:
\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}\,x^n \;+\; 3\sum_{n=0}^{\infty}n\,a_n\,x^n \;+\; \sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n \;=\;0.

Passo 4

Juntando os coeficientes de x^n e impondo que sejam zero, vem
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} \;+\;(3n+1)\,a_n \;=\;0,
ou seja
\boxed{a_{n+2} \;=\;-\,\frac{3n+1}{(n+2)(n+1)}\,a_n,\quad n\ge0.}

Passo 5

Como é uma EDO de segunda ordem, teremos duas soluções independentes:
  • Solução par (toma a_0\neq0 e a_1=0):
y_1(x) = \sum_{k=0}^\infty a_{2k}\,x^{2k},
com
a_{2k+2} = -\,\frac{3(2k)+1}{(2k+2)(2k+1)}\,a_{2k}.
Por exemplo, escolhendo a_0=1 obtém-se
y_1(x) = 1 \;-\;\tfrac12\,x^2\;+\;\tfrac{7}{24}\,x^4\;-\;\tfrac{23}{240}\,x^6\;+\cdots.
  • Solução ímpar (toma a_1\neq0 e a_0=0):
y_2(x) = \sum_{k=0}^\infty a_{2k+1}\,x^{2k+1},
com
a_{2k+3} = -\,\frac{3(2k+1)+1}{(2k+3)(2k+2)}\,a_{2k+1}.
Escolhendo a_1=1 vem
y_2(x) = x\;-\;\tfrac23\,x^3\;+\;\tfrac{5}{24}\,x^5\;-\cdots.

Passo 6

Como são duas soluções linearmente independentes, a solução geral é
\boxed{y(x) = C_1\,y_1(x) \;+\; C_2\,y_2(x)},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias e y_1,y_2 são as séries definidas acima.

Resposta

y(x) = C_1\Bigl(1 - \tfrac12x^2 + \tfrac{7}{24}x^4 - \cdots\Bigr) \;+\; C_2\Bigl(x - \tfrac23x^3 + \tfrac{5}{24}x^5 - \cdots\Bigr).

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