R3) Resolva
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem
Como o coeficiente de
depende de
, vamos usar o método de séries de potências em torno de
. Assumimos
Passo 2
Calculamos as derivadas termo a termo:
Passo 3
Substituindo
,
e
na EDO:
Reindexando os dois primeiros somatórios para poder somar tudo em potências
:
Passo 4
Juntando os coeficientes de
e impondo que sejam zero, vem
ou seja
Passo 5
Como é uma EDO de segunda ordem, teremos duas soluções independentes:
- Solução par (toma
e ):
com
Por exemplo, escolhendo
obtém-se
- Solução ímpar (toma
e ):
com
Escolhendo
vem
Passo 6
Como são duas soluções linearmente independentes, a solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias e
são as séries definidas acima.