Encontre a derivada da função.
y=2^{\operatorname{sen} \pi x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = 2^{\sin(\pi x)}.
O conteúdo principal aqui é a derivada de uma exponencial de base fixa, usando a regra da cadeia, e a derivada de \sin(\pi x).

Passo 2

Identificamos a função externa e a interna:
a função externa é f(u)=2^u e a interna é u(x)=\sin(\pi x).
Pela derivada de uma exponencial de base a, temos
f'(u) = 2^u \ln(2).

Passo 3

Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = f'(u)\cdot u'(x) = 2^{\sin(\pi x)}\ln(2)\,\cdot u'(x).
Falta então calcular u'(x).

Passo 4

Como u(x)=\sin(\pi x), usamos que \frac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t) e \frac{d}{dx}(\pi x)=\pi. Logo,
u'(x) = \cos(\pi x)\,\pi.

Passo 5

Substituindo u'(x) em \frac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} = 2^{\sin(\pi x)}\ln(2)\,\bigl(\pi\cos(\pi x)\bigr) = 2^{\sin(\pi x)}\,\pi\ln(2)\,\cos(\pi x).

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=2^{\sin(\pi x)}\,\pi\ln(2)\,\cos(\pi x)

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