Encontre a derivada da função.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função
definida por
Informações dadas: a função é uma composição de funções — temos a tangente aplicada à raiz quadrada de
. A tarefa é calcular
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Vamos identificar claramente as funções compostas (isso é importante para não se perder na prova). Definimos:
e
Então
. Não vamos resolver ainda, só organizando as peças.
Passo 3
Apresento a regra que vamos usar (a “ferramenta” principal): a regra da cadeia. Ela diz que, para
,
Explicando: primeiro derivamos a função externa
em relação a sua variável
, avaliamos em
, e multiplicamos pela derivada da função interna
. Exemplo curto: se
, então
,
, e
.
Passo 4
Derivada da função externa. A função externa é
. A regra básica é:
Isso pode ser lembrado porque
e
(identidade trigonométrica). Então aplicando a regra da cadeia, teremos um fator
na derivada final.
Passo 5
Derivada da função interna. A função interna é
. Usamos a regra de potência combinada com a regra da cadeia (pois há uma função composta
elevada a
). A derivada de
é
Aqui
e
. Substituindo:
Os fatores
e
se cancelam, sobrando
Interpretação: a derivada da raiz é o coeficiente
dividido pela própria raiz interna — é uma forma comum que aparece bastante.
Passo 6
Agora aplicamos a regra da cadeia juntando os resultados dos passos 4 e 5. Usando
e
, obtemos
Lembrando que
, substituímos:
Passo 7
Podemos escrever a resposta de forma mais compacta (mas equivalente):
Se preferir, usando
, também podemos escrever
mas a forma com
é mais direta e curta.