Encontre a derivada da função.
F(t)=\tan \sqrt{1+t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função F definida por
F(t)=\tan\sqrt{1+t^{2}}.
Informações dadas: a função é uma composição de funções — temos a tangente aplicada à raiz quadrada de 1+t^{2}. A tarefa é calcular F'(t), a derivada de F em função de t.

Passo 2

Vamos identificar claramente as funções compostas (isso é importante para não se perder na prova). Definimos:
u(t)=\sqrt{1+t^{2}}=(1+t^{2})^{1/2}
e
v(u)=\tan(u).
Então F(t)=v(u(t)). Não vamos resolver ainda, só organizando as peças.

Passo 3

Apresento a regra que vamos usar (a “ferramenta” principal): a regra da cadeia. Ela diz que, para F(t)=v(u(t)),
F'(t)=v'(u(t))\cdot u'(t).
Explicando: primeiro derivamos a função externa v em relação a sua variável u, avaliamos em u(t), e multiplicamos pela derivada da função interna u(t). Exemplo curto: se F(t)=\sin(3t), então u(t)=3t, v(u)=\sin u, e F'(t)=\cos(3t)\cdot 3.

Passo 4

Derivada da função externa. A função externa é v(u)=\tan(u). A regra básica é:
\frac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u).
Isso pode ser lembrado porque \operatorname{sec}(u)=\frac{1}{\cos(u)} e \operatorname{sec}^{2}(u)=1+\tan^{2}(u) (identidade trigonométrica). Então aplicando a regra da cadeia, teremos um fator \operatorname{sec}^{2}(u(t)) na derivada final.

Passo 5

Derivada da função interna. A função interna é u(t)=(1+t^{2})^{1/2}. Usamos a regra de potência combinada com a regra da cadeia (pois há uma função composta g(t)=1+t^{2} elevada a 1/2). A derivada de g(t)^{1/2} é
\frac{d}{dt}(g(t)^{1/2})=\frac{1}{2}g(t)^{-1/2}\cdot g'(t).
Aqui g(t)=1+t^{2} e g'(t)=2t. Substituindo:
u'(t)=\frac{1}{2}(1+t^{2})^{-1/2}\cdot 2t.
Os fatores 1/2 e 2 se cancelam, sobrando
u'(t)=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}.
Interpretação: a derivada da raiz é o coeficiente t dividido pela própria raiz interna — é uma forma comum que aparece bastante.

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia juntando os resultados dos passos 4 e 5. Usando v'(u)=\operatorname{sec}^{2}(u) e u'(t)=\dfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}, obtemos
F'(t)=\operatorname{sec}^{2}\big(u(t)\big)\cdot \frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}.
Lembrando que u(t)=\sqrt{1+t^{2}}, substituímos:
F'(t)=\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sqrt{1+t^{2}}\big)\cdot \frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}.

Passo 7

Podemos escrever a resposta de forma mais compacta (mas equivalente):
F'(t)=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sqrt{1+t^{2}}\big).
Se preferir, usando \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x, também podemos escrever
F'(t)=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\Big(1+\tan^{2}\!\big(\sqrt{1+t^{2}}\big)\Big),
mas a forma com \operatorname{sec}^{2} é mais direta e curta.

Resposta

\displaystyle F'(t)=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sqrt{1+t^{2}}\big)

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