Encontre a derivada da função. Simplifique o resultado sempre que possível.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada
. Informações relevantes fornecidas:
- A notação
aqui representa a função arco seno (arcsin). - A função é a composição de arco seno com a função linear
. - O domínio natural da função
(por causa do arco seno) é .
Passo 2
Vamos revisar a regra que vamos usar: a regra da cadeia e a derivada do arco seno.
- Regra da cadeia (intuição simples): se temos uma função composta
, a derivada é
Isto significa: derivamos a função externa
avaliando-a na função interna
e multiplicamos pela derivada da função interna
.
- Derivada do arco seno: defina
. Isso é equivalente a . Diferenciando ambos os lados em relação a (usando diferenciação implícita) obtemos
Logo
Como
, temos
. Substituindo
obtemos
Aqui é importante: a raiz quadrada é não negativa, e a fórmula vale para
(na fronteira o denominador vira zero).
Passo 3
Agora aplicamos essas ideias ao problema. Tome a função interna
A derivada dessa função interna é
A função externa é
, cuja derivada, pelo resultado do passo anterior, é
Pela regra da cadeia,
Substituindo
obtemos
Passo 4
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
portanto a forma mais simplificada é
Observação sobre domínio da derivada: este resultado é válido para os
em que o denominador é positivo, ou seja, para
, isto é, para
. Nos pontos
a derivada não existe porque o denominador fica zero.