Encontre a derivada da função. Simplifique o resultado sempre que possível.
f(x)=\sin ^{-1}(5 x)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sin^{-1}(5x) e pede para encontrar a derivada f'(x). Informações relevantes fornecidas:
  • A notação \sin^{-1} aqui representa a função arco seno (arcsin).
  • A função é a composição de arco seno com a função linear x \mapsto 5x.
  • O domínio natural da função f (por causa do arco seno) é -\tfrac{1}{5} \le x \le \tfrac{1}{5}.

Passo 2

Vamos revisar a regra que vamos usar: a regra da cadeia e a derivada do arco seno.
  1. Regra da cadeia (intuição simples): se temos uma função composta F(x)=g(h(x)), a derivada é
F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Isto significa: derivamos a função externa g avaliando-a na função interna h(x) e multiplicamos pela derivada da função interna h'(x).
  1. Derivada do arco seno: defina y=\sin^{-1}(x). Isso é equivalente a \sin y = x. Diferenciando ambos os lados em relação a x (usando diferenciação implícita) obtemos
\cos y\cdot \frac{dy}{dx} = 1.
Logo
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}.
Como \sin^2 y + \cos^2 y = 1, temos \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y}. Substituindo \sin y = x obtemos
\frac{d}{dx}\big(\sin^{-1}(x)\big)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Aqui é importante: a raiz quadrada é não negativa, e a fórmula vale para |x|<1 (na fronteira o denominador vira zero).

Passo 3

Agora aplicamos essas ideias ao problema. Tome a função interna
u(x)=5x.
A derivada dessa função interna é
u'(x)=5.
A função externa é g(u)=\sin^{-1}(u), cuja derivada, pelo resultado do passo anterior, é
g'(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-(u(x))^2}}\cdot 5.
Substituindo u(x)=5x obtemos
f'(x)=\frac{5}{\sqrt{1-(5x)^2}}.

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
1-(5x)^2 = 1-25x^2,
portanto a forma mais simplificada é
f'(x)=\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}.
Observação sobre domínio da derivada: este resultado é válido para os x em que o denominador é positivo, ou seja, para |5x|<1, isto é, para |x|<\tfrac{1}{5}. Nos pontos x=\pm\tfrac{1}{5} a derivada não existe porque o denominador fica zero.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{5}{\sqrt{1-25x^{2}}}

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