Encontre
por derivação implícita.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
(derivada de
em relação a
) da equação
Informações dadas:
Pergunta: calcular
em termos de
e
.
Passo 2
Conceito que vamos usar: derivação implícita. Aqui
é considerada uma função de
, isto é
. Quando derivamos uma expressão que contém
em relação a
, aplicamos a regra da cadeia: se
então
e
Explicando a regra da cadeia de forma simples: quando temos uma função composta, primeiro derivamos a função externa (por exemplo
ou
) avaliando-a no interno
, e depois multiplicamos pela derivada do interno
. Exemplo rápido:
.
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados da igualdade em relação a
. Do lado esquerdo, a função é
. Pelo que dissemos acima:
Como
tem derivada
, temos
Do lado direito, temos
. Derivando termo a termo:
Portanto, a derivada do lado direito é
Passo 4
Igualando as duas derivadas obtemos a equação com
:
Agora vamos isolar
. Primeiro expandimos o lado esquerdo:
Passo 5
Recolhemos todos os termos que contêm
no lado esquerdo e os restantes no lado direito. Somando
a ambos os lados e subtraindo
de ambos os lados obtemos:
Fatorando
do lado esquerdo:
Dividindo ambos os lados por
(atenção: isso exige que
, caso contrário a derivada não está definida naquele ponto), obtemos: