Encontre dy/dx por derivação implícita.
\sin (x+y)=\cos x+\cos y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \dfrac{dy}{dx} (derivada de y em relação a x) da equação
\sin(x+y)=\cos x+\cos y.
Informações dadas:
\sin(x+y)=\cos x+\cos y.
Pergunta: calcular \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.

Passo 2

Conceito que vamos usar: derivação implícita. Aqui y é considerada uma função de x, isto é y=y(x). Quando derivamos uma expressão que contém y em relação a x, aplicamos a regra da cadeia: se u=u(x) então
\frac{d}{dx}\big(\sin u\big)=\cos u\cdot \frac{du}{dx}
e
\frac{d}{dx}\big(\cos u\big)=-\sin u\cdot \frac{du}{dx}.
Explicando a regra da cadeia de forma simples: quando temos uma função composta, primeiro derivamos a função externa (por exemplo \sin ou \cos) avaliando-a no interno u, e depois multiplicamos pela derivada do interno u. Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot 2.

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados da igualdade em relação a x. Do lado esquerdo, a função é \sin(x+y). Pelo que dissemos acima:
\frac{d}{dx}\big(\sin(x+y)\big)=\cos(x+y)\cdot\frac{d}{dx}(x+y).
Como x+y tem derivada 1+\dfrac{dy}{dx}, temos
\frac{d}{dx}\big(\sin(x+y)\big)=\cos(x+y)\big(1+\frac{dy}{dx}\big).
Do lado direito, temos \cos x+\cos y. Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x,
\frac{d}{dx}(\cos y)=-\sin y\cdot\frac{dy}{dx}.
Portanto, a derivada do lado direito é
-\sin x - \sin y\cdot\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Igualando as duas derivadas obtemos a equação com \dfrac{dy}{dx}:
\cos(x+y)\big(1+\frac{dy}{dx}\big) = -\sin x - \sin y\cdot\frac{dy}{dx}.
Agora vamos isolar \dfrac{dy}{dx}. Primeiro expandimos o lado esquerdo:
\cos(x+y) + \cos(x+y)\cdot\frac{dy}{dx} = -\sin x - \sin y\cdot\frac{dy}{dx}.

Passo 5

Recolhemos todos os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo e os restantes no lado direito. Somando \sin y\cdot\dfrac{dy}{dx} a ambos os lados e subtraindo \cos(x+y) de ambos os lados obtemos:
\cos(x+y)\cdot\frac{dy}{dx} + \sin y\cdot\frac{dy}{dx} = -\sin x - \cos(x+y).
Fatorando \dfrac{dy}{dx} do lado esquerdo:
\left(\cos(x+y) + \sin y\right)\frac{dy}{dx} = -\sin x - \cos(x+y).
Dividindo ambos os lados por \cos(x+y)+\sin y (atenção: isso exige que \cos(x+y)+\sin y\neq 0, caso contrário a derivada não está definida naquele ponto), obtemos:

Passo 6

\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin x - \cos(x+y)}{\cos(x+y) + \sin y}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{-\sin x-\cos(x+y)}{\cos(x+y)+\sin y}

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