Encontre a derivada da função f(x) = (1+x)/(1+e^x)

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a derivada de uma função que é uma fração. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é super útil quando temos uma divisão entre duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem a e na Regra do Quociente. Na nossa função:
  • (a parte de cima)
  • (a parte de baixo)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de e . Vamos lá:
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 4

Com as derivadas de e prontas, aplicamos a Regra do Quociente, que diz:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Então, o numerador fica:

Passo 6

Agora, juntando tudo, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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