Uma escada de 3 m de comprimento está apoiada em uma parede. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de
, quão rápido o topo da escada escorrega para baixo quando a base está a 1 m da parede?
Passo 1
Então, a gente tem uma escada de 3 metros que está encostada numa parede. A base dessa escada está se afastando da parede a uma velocidade de 1 metro por segundo. A pergunta é: quando a base está a 1 metro de distância da parede, quão rápido o topo da escada está descendo? Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática, especificamente cálculo de taxas relacionadas e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o movimento da base e do topo da escada estão relacionados. Imagine que:
-
é a distância da base da escada até a parede. -
é a altura do topo da escada em relação ao chão.
A escada forma um triângulo retângulo com a parede e o chão. Sabemos que o Teorema de Pitágoras nos diz que:
Isso porque a escada tem 3 metros de comprimento.
Passo 3
Agora, queremos descobrir como as velocidades de
e
estão relacionadas. Para isso, vamos derivar a equação em relação ao tempo
:
Aqui,
é a velocidade com que a base está se afastando (que é 1 m/s), e
é a velocidade com que o topo está descendo, que é o que queremos encontrar.
Passo 4
Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, substituímos os valores conhecidos. Quando
metro:
E sabemos que
.
Substituindo na equação:
Resposta
O topo da escada está descendo a uma taxa de
quando a base está a 1 metro da parede.