Uma escada de 3 m de comprimento está apoiada em uma parede. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 m/s, quão rápido o topo da escada escorrega para baixo quando a base está a 1 m da parede?

Passo 1

Então, a gente tem uma escada de 3 metros que está encostada numa parede. A base dessa escada está se afastando da parede a uma velocidade de 1 metro por segundo. A pergunta é: quando a base está a 1 metro de distância da parede, quão rápido o topo da escada está descendo? Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática, especificamente cálculo de taxas relacionadas e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o movimento da base e do topo da escada estão relacionados. Imagine que:
  • é a distância da base da escada até a parede.
  • é a altura do topo da escada em relação ao chão.
A escada forma um triângulo retângulo com a parede e o chão. Sabemos que o Teorema de Pitágoras nos diz que:
Isso porque a escada tem 3 metros de comprimento.

Passo 3

Agora, queremos descobrir como as velocidades de e estão relacionadas. Para isso, vamos derivar a equação em relação ao tempo :
Aqui, é a velocidade com que a base está se afastando (que é 1 m/s), e é a velocidade com que o topo está descendo, que é o que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora, substituímos os valores conhecidos. Quando metro:
E sabemos que .
Substituindo na equação:

Resposta

O topo da escada está descendo a uma taxa de quando a base está a 1 metro da parede.

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