Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 16 m e uma base com raio de 4 m . A água está fluindo dentro do tanque a uma vazão de
. Quão rápido se elevará o nível de água quando a água estiver com 5 m de profundidade? (OBS.: Lembre-se que o volume de um cone cujo raio da base é
e a altura é
é dado por
.)
Passo 1
Vamos resolver um problema de taxas relacionadas envolvendo um tanque em forma de cone invertido. O enunciado nos diz que a água está entrando no tanque a uma determinada vazão, e queremos descobrir quão rápido o nível da água está subindo quando a profundidade da água é de 5 metros. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas relacionadas. Precisaremos entender como a variação do volume da água está relacionada com a variação na altura da água.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone, que é dada por:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio da base, -
é a altura do cone.
No nosso caso, o tanque é um cone invertido com altura total de 16 metros e raio de base de 4 metros. À medida que a água entra no tanque, forma-se um cone menor de água com altura
e raio
. Precisamos expressar o raio
da água em função da altura
para relacionar o volume da água com sua altura.
Passo 3
Observamos que o tanque e o volume de água são cones semelhantes, ou seja, suas proporções são iguais. Assim, temos:
Portanto, o raio da água em função da altura é:
Passo 4
Substituindo
na fórmula do volume, temos:
Passo 5
Agora, queremos relacionar a taxa de variação do volume
com a taxa de variação da altura
. Vamos derivar a equação do volume em relação ao tempo
:
Passo 6
Sabemos que a vazão de entrada de água é
e queremos encontrar
quando
. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Resposta
Quando a água estiver com 5 metros de profundidade, o nível da água está subindo a uma taxa de
.