Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 16 m e uma base com raio de 4 m . A água está fluindo dentro do tanque a uma vazão de 2 m^3 / min. Quão rápido se elevará o nível de água quando a água estiver com 5 m de profundidade? (OBS.: Lembre-se que o volume de um cone cujo raio da base é r e a altura é h é dado por pi * r^2 * h / 3.)

Passo 1

Vamos resolver um problema de taxas relacionadas envolvendo um tanque em forma de cone invertido. O enunciado nos diz que a água está entrando no tanque a uma determinada vazão, e queremos descobrir quão rápido o nível da água está subindo quando a profundidade da água é de 5 metros. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas relacionadas. Precisaremos entender como a variação do volume da água está relacionada com a variação na altura da água.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone, que é dada por:
Onde:
  • é o volume,
  • é o raio da base,
  • é a altura do cone.
No nosso caso, o tanque é um cone invertido com altura total de 16 metros e raio de base de 4 metros. À medida que a água entra no tanque, forma-se um cone menor de água com altura e raio . Precisamos expressar o raio da água em função da altura para relacionar o volume da água com sua altura.

Passo 3

Observamos que o tanque e o volume de água são cones semelhantes, ou seja, suas proporções são iguais. Assim, temos:
Portanto, o raio da água em função da altura é:

Passo 4

Substituindo na fórmula do volume, temos:

Passo 5

Agora, queremos relacionar a taxa de variação do volume com a taxa de variação da altura . Vamos derivar a equação do volume em relação ao tempo :

Passo 6

Sabemos que a vazão de entrada de água é e queremos encontrar quando . Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 7

Agora, isolamos :

Resposta

Quando a água estiver com 5 metros de profundidade, o nível da água está subindo a uma taxa de .

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