Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
sobre essa curva. O que se pede é a equação da reta tangente à curva nesse ponto.
Informações fornecidas:
- Função:
. - Ponto onde queremos a tangente:
.
O que precisamos encontrar:
- A equação da reta tangente à curva em
.
Passo 2
Entender o que é a reta tangente e como encontrá-la (a ideia principal, bem mastigada).
- A reta tangente a uma curva em um ponto é a reta que “toca” a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação instantânea que a curva ali.
- Matemáticamente, a inclinação da tangente em
é a derivada da função naquele ponto, isto é
Aqui
. Vamos calcular a inclinação da tangente em
usando a definição do limite (é um procedimento que dá prática para a prova).
Cálculo da derivada em
pela definição:
Agora simplificamos o numerador:
Dividindo pela
:
Agora tomamos o limite quando
:
Comentário prático (atalho que você pode usar na prova): também é útil saber que é possível reescrever
e aplicar a regra de potência para derivar: se
então
Substituindo
dá
, que é o mesmo resultado que obtivemos pelo limite. Use o método que você se sentir mais confortável na prova (o limite é conceitual; a regra de potência é o atalho prático).
Conclusão deste passo: a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em
é
.
Passo 3
Montar a equação da reta conhecendo a inclinação e o ponto. Usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta:
onde
é o ponto dado e
é a inclinação.
Aqui
e
. Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação para a forma mais comum (forma explícita
):
Desenvolvendo o lado direito:
Agora somamos
em ambos os lados:
Podemos checar rápido: para
obtemos
, então a reta passa pelo ponto dado e tem a inclinação correta.