Encontre a equação da reta tangente à curva y=\frac{2}{x} no ponto (2,1).

Passo 1

O enunciado dá a função y=\dfrac{2}{x} e o ponto (2,1) sobre essa curva. O que se pede é a equação da reta tangente à curva nesse ponto.
Informações fornecidas:
  • Função: y=\dfrac{2}{x}.
  • Ponto onde queremos a tangente: (2,1).
O que precisamos encontrar:
  • A equação da reta tangente à curva em (2,1).

Passo 2

Entender o que é a reta tangente e como encontrá-la (a ideia principal, bem mastigada).
  • A reta tangente a uma curva em um ponto é a reta que “toca” a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação instantânea que a curva ali.
  • Matemáticamente, a inclinação da tangente em x=a é a derivada da função naquele ponto, isto é
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui f(x)=\dfrac{2}{x}. Vamos calcular a inclinação da tangente em x=2 usando a definição do limite (é um procedimento que dá prática para a prova).
Cálculo da derivada em x=2 pela definição:
f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\dfrac{2}{2+h}-1}{h}.
Agora simplificamos o numerador:
\dfrac{2}{2+h}-1=\dfrac{2-(2+h)}{2+h}=\dfrac{-h}{2+h}.
Dividindo pela h:
\frac{\dfrac{-h}{2+h}}{h}=\frac{-1}{2+h}.
Agora tomamos o limite quando h\to0:
f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{-1}{2+h}=\frac{-1}{2}.
Comentário prático (atalho que você pode usar na prova): também é útil saber que é possível reescrever y=\dfrac{2}{x}=2x^{-1} e aplicar a regra de potência para derivar: se y=2x^{-1} então
y' = 2\cdot(-1)x^{-2}=-2x^{-2}=-\frac{2}{x^{2}}.
Substituindo x=2 y'=-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{2}, que é o mesmo resultado que obtivemos pelo limite. Use o método que você se sentir mais confortável na prova (o limite é conceitual; a regra de potência é o atalho prático).
Conclusão deste passo: a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em (2,1) é m=f'(2)=-\dfrac{1}{2}.

Passo 3

Montar a equação da reta conhecendo a inclinação e o ponto. Usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta:
y-y_0=m(x-x_0),
onde (x_0,y_0) é o ponto dado e m é a inclinação.
Aqui (x_0,y_0)=(2,1) e m=-\dfrac{1}{2}. Substituindo:
y-1=-\dfrac{1}{2}\bigl(x-2\bigr).

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para a forma mais comum (forma explícita y=mx+b):
Desenvolvendo o lado direito:
y-1=-\dfrac{1}{2}x+1.
Agora somamos 1 em ambos os lados:
y = -\dfrac{1}{2}x + 1 + 1.
y = -\dfrac{1}{2}x + 2.
Podemos checar rápido: para x=2 obtemos y=-1+2=1, então a reta passa pelo ponto dado e tem a inclinação correta.

Resposta

y=-\dfrac{1}{2}x+2

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