Encontre a derivada da função.
f(x)=\operatorname{sen}(\operatorname{tg} 2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{sen}\bigl(\operatorname{tg}(2x)\bigr).
O conteúdo envolvido é derivada de função composta (regra da cadeia), além das derivadas de seno, tangente e de uma função linear interna.

Passo 2

Identificamos duas composições:
– Função exterior: v\mapsto \operatorname{sen}(v).
– Função interior: u(x)=\operatorname{tg}(2x).
Pela regra da cadeia, se f(x)=\operatorname{sen}(u(x)) então
f'(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Derivamos u(x)=\operatorname{tg}(2x). Como
\frac{d}{dx}\,\operatorname{tg}(v)=\operatorname{sec}^2(v)\,\frac{dv}{dx}
e \frac{d}{dx}(2x)=2, vem
u'(x)=\operatorname{sec}^2(2x)\cdot2=2\operatorname{sec}^2(2x).

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x) obtemos
f'(x) =\cos\bigl(\operatorname{tg}(2x)\bigr)\,\bigl(2\operatorname{sec}^2(2x)\bigr) =2\cos\bigl(\operatorname{tg}(2x)\bigr)\,\operatorname{sec}^2(2x).

Resposta

f'(x)=2\cos(\operatorname{tg}(2x))\operatorname{sec}^2(2x)

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