(2,0) Encontre a derivada da função f(x)=3 x-x^{2}. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto (1,2)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A derivada de f(x)=3x - x^2.
  2. A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,2).
    Para isso, vamos usar o regra do poder para derivação de polinômios e a fórmula da reta tangente
y - f(a) = f'(a)\,(x - a).

Passo 2

Aplicando a regra do poder em cada termo de f(x)=3x - x^2:
– A derivada de 3x é 3.
– A derivada de -x^2 é -2x.
Logo,
f'(x) = 3 - 2x.

Passo 3

Agora precisamos do ponto (a,f(a)) com a=1 e do coeficiente angular m=f'(1).
Calculando
f(1)=3\cdot1 - 1^2 = 2,
f'(1)=3 - 2\cdot1 = 1.

Passo 4

Usando a fórmula da reta tangente em x=1:
y - f(1) = f'(1)\,(x - 1)
Substituindo f(1)=2 e f'(1)=1:
y - 2 = 1\,(x - 1)
\Rightarrow y = x + 1.

Resposta

Derivada: f'(x)=3-2x.
Reta tangente em (1,2): y = x + 1.

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