Encontre a derivada da função:
f(x)=\frac{\cos x}{2 \operatorname{sen}^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\cos x}{2\,\operatorname{sen}^{2}x}.
O conteúdo é aplicação de regra do produto e da cadeia (ou, alternativamente, regra do quociente). Vamos reescrever f de modo a usar produto de funções.

Passo 2

Fatoramos a constante e escrevemos potência negativa:
f(x)=\frac{1}{2}\,\cos x\;\sin^{-2}x.
Aqui definimos u(x)=\cos x e v(x)=\sin^{-2}x.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=\frac{1}{2}\bigl(u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)\bigr).
Calculamos as derivadas parciais:
u'(x)=-\operatorname{sen} x, \quad v(x)=\sin^{-2}x, \quad v'(x)=-2\,\sin^{-3}x\cdot\cos x
(pela regra da cadeia, derivada de \sin^{-2}x é -2\sin^{-3}x vezes \cos x).

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x)=\frac{1}{2}\Bigl(-\operatorname{sen} x\cdot\sin^{-2}x +\cos x\cdot(-2\,\sin^{-3}x\cos x)\Bigr).
Isso é
f'(x) =\frac{1}{2}\Bigl(-\sin^{-1}x-2\,\cos^2x\,\sin^{-3}x\Bigr) =-\frac{1}{2\sin x}-\frac{\cos^2x}{\sin^3x}.
Colocando num único denominador 2\sin^3x:
f'(x) =-\frac{\sin^2x+2\cos^2x}{2\sin^3x} =-\frac{1+\cos^2x}{2\sin^3x}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1+\cos^2x}{2\sin^3x}.

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