Do teste da razão, se L>1 a série diverge; aqui L=+\infty para todo x\neq0. Para x=0 todos os termos com n\ge1 são nulos e a série converge trivialmente.
Logo, a primeira série converge somente em x=0.
Passo 4
Agora a série \sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{(x-3)^{n}}{n}. Aplicamos o teste da raiz:
Pelo teste da raiz, ela converge se \lvert x-3\rvert<1 e diverge se \lvert x-3\rvert>1.
Passo 5
Falta decidir o que ocorre em \lvert x-3\rvert=1:
Se x-3=1, isto é x=4, a série vira \sum1/n (série harmônica), que diverge.
Se x-3=-1, isto é x=2, a série vira \sum(-1)^{n}/n, que converge (por teste de Leibniz, série alternada decrescente com limite 0).
Passo 6
Resumindo as conclusões para a segunda série:
– Converge para \lvert x-3\rvert<1.
– Em x=2 (ou seja \lvert x-3\rvert=1 com sinal negativo) converge condicionalmente.
– Em x=4 diverge.
Resposta
A série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n!\,x^{n} converge somente em x=0.
A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^{n}}{n} converge se e somente se
\lvert x-3\rvert<1
e, entre as bordas, converge somente em x=2 e diverge em x=4.