Exemplo 3: Para quais valores de x as séries a seguir são convergentes:
\quad \sum_{n=0} n!x^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de x que fazem convergir duas séries infinitas:
  1. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n!\,x^{n}
  2. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^{n}}{n}
    Conteúdo principal: testes de convergência (teste da razão, teste da raiz e análise nas bordas).

Passo 2

Vamos analisar a série \sum_{n=0}^{\infty} n!\,x^{n} pelo teste da razão. Denotando a_{n}=n!\,x^{n}, calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!\,\lvert x\rvert^{\,n+1}}{n!\,\lvert x\rvert^{\,n}} =\lim_{n\to\infty}(n+1)\,\lvert x\rvert =+\infty\quad \text{se \(\lvert x\rvert>0\).}

Passo 3

Do teste da razão, se L>1 a série diverge; aqui L=+\infty para todo x\neq0. Para x=0 todos os termos com n\ge1 são nulos e a série converge trivialmente.
Logo, a primeira série converge somente em x=0.

Passo 4

Agora a série \sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{(x-3)^{n}}{n}. Aplicamos o teste da raiz:
\lim_{n\to\infty}\bigl|a_{n}\bigr|^{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\lvert x-3\rvert}{n^{1/n}} =\lvert x-3\rvert\quad\bigl(\text{pois }n^{1/n}\to1\bigr).
Pelo teste da raiz, ela converge se \lvert x-3\rvert<1 e diverge se \lvert x-3\rvert>1.

Passo 5

Falta decidir o que ocorre em \lvert x-3\rvert=1:
  • Se x-3=1, isto é x=4, a série vira \sum1/n (série harmônica), que diverge.
  • Se x-3=-1, isto é x=2, a série vira \sum(-1)^{n}/n, que converge (por teste de Leibniz, série alternada decrescente com limite 0).

Passo 6

Resumindo as conclusões para a segunda série:
– Converge para \lvert x-3\rvert<1.
– Em x=2 (ou seja \lvert x-3\rvert=1 com sinal negativo) converge condicionalmente.
– Em x=4 diverge.

Resposta

  1. A série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n!\,x^{n} converge somente em x=0.
  2. A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^{n}}{n} converge se e somente se
\lvert x-3\rvert<1
e, entre as bordas, converge somente em x=2 e diverge em x=4.

Exercícios relacionados