Encontre a derivada da função:
f(x)=\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \ln\!\biggl(\frac{x-1}{x+1}\biggr).
O conteúdo é derivada de logaritmo e regra da cadeia. Vamos usar a propriedade
\ln\!\biggl(\tfrac{A}{B}\biggr) = \ln(A) - \ln(B)
e depois aplicar a derivada de \ln(u), que é u'/u.

Passo 2

Reescrevendo a função usando a diferença de logaritmos:
f(x) = \ln(x-1) - \ln(x+1).
Aqui vale notar o domínio original: (x-1)/(x+1)>0, ou seja x>1 ou x<-1, mas a fórmula da derivada que obteremos vale sempre que x\neq\pm1.

Passo 3

Agora derivamos termo a termo, lembrando que a derivada de \ln(u) é
\frac{d}{dx}\ln(u) = \frac{u'}{u}.
Para \ln(x-1), temos u=x-1 e u'=1, então
\frac{d}{dx}\ln(x-1) = \frac{1}{x-1}.
Para \ln(x+1), de modo análogo,
\frac{d}{dx}\ln(x+1) = \frac{1}{x+1}.
Logo
f'(x) = \frac{1}{x-1} \;-\;\frac{1}{x+1}.

Passo 4

Para simplificar, colocamos sobre um único denominador:
f'(x) = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1 - x +1}{x^2-1} = \frac{2}{x^2 - 1}.

Resposta

f'(x) = \frac{2}{x^2 - 1},\quad x\neq\pm1.

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