Encontre a derivada da função:
f(x)=e^{2 x} \ln \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = e^{2x}\,\ln\bigl(x^2\bigr).
Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. Note que o domínio é x\neq0, pois o logaritmo natural exige argumento positivo.

Passo 2

Identificamos as funções
u(x) = e^{2x}, \qquad v(x) = \ln\bigl(x^2\bigr).
Calculamos u'(x) usando a regra da cadeia em e^{2x}:
u'(x) = \frac{d}{dx}e^{2x} = 2e^{2x}.

Passo 3

Para v'(x), aplicamos a regra da cadeia em \ln(w) com w=x^2:
v'(x) = \frac{d}{dx}\ln\bigl(x^2\bigr) = \frac{1}{x^2}\cdot 2x = \frac{2}{x}.

Passo 4

Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo as derivadas e as funções:
f'(x) = 2e^{2x}\,\ln\bigl(x^2\bigr) + e^{2x}\,\frac{2}{x}.

Passo 5

Fatoramos 2e^{2x} para simplificar:
f'(x) = 2e^{2x}\Bigl(\ln\bigl(x^2\bigr) + \frac{1}{x}\Bigr).

Resposta

f'(x) = 2e^{2x}\Bigl(\ln\bigl(x^2\bigr) + \frac{1}{x}\Bigr).

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