Encontre a derivada da função:
f(x)=(\pi+\ln (\operatorname{sec} x))^{7}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = \bigl(\pi + \ln(\operatorname{sec} x)\bigr)^{7}.
O conteúdo que vamos usar inclui a regra da cadeia para potência composta e as derivadas de funções elementares, em particular de \ln e de \operatorname{sec}.

Passo 2

Defina
u(x) = \pi + \ln(\operatorname{sec} x),
de modo que
f(x) = [u(x)]^{7}.
Pela regra da cadeia para potências,
f'(x) = 7\,[u(x)]^{6}\,\cdot u'(x).

Passo 3

Agora, vamos calcular u'(x). Como \pi é constante, sua derivada é zero, e resta derivar \ln(\operatorname{sec} x):
\frac{d}{dx}\ln(\operatorname{sec} x) = \frac{1}{\operatorname{sec} x}\,\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x) = \frac{1}{\operatorname{sec} x}\,(\operatorname{sec} x\tan x) = \tan x.
Portanto,
u'(x) = \tan x.

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) = 7\bigl(\pi + \ln(\operatorname{sec} x)\bigr)^{6}\,\tan x.

Resposta

f'(x) = 7\bigl(\pi + \ln(\operatorname{sec} x)\bigr)^{6}\,\tan x.

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