Encontre a derivada da função.
f(x)=\left(1+x^{4}\right)^{2 / 4}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\bigl(1+x^{4}\bigr)^{2/4}.
Este é um caso de função composta com potência, então vamos usar a regra da cadeia e a regra da potência.

Passo 2

Primeiro simplificamos o expoente:
\frac{2}{4}=\frac12,
logo podemos reescrever
f(x)=\bigl(1+x^{4}\bigr)^{1/2}.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia. Se f(x)=[u(x)]^{1/2}, então
f'(x)=\frac12\,[u(x)]^{-1/2}\cdot u'(x).
Aqui u(x)=1+x^{4}.

Passo 4

Calculamos u'(x). Como u(x)=1+x^{4}, temos
u'(x)=4x^{3}.
Substituindo em f'(x):
f'(x) =\frac12\,(1+x^{4})^{-1/2}\cdot 4x^{3}.

Passo 5

Simplificando o fator \tfrac12\cdot4:
f'(x)=2x^{3}\,(1+x^{4})^{-1/2} =\frac{2x^{3}}{\sqrt{1+x^{4}}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2x^{3}}{\sqrt{1+x^{4}}}.

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