Questão 0.2. Verifique se os seguintes subconjuntos geram o espaço mathbb{R}^{3} :
B=\{(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B = \{(1,0,0),\,(0,1,1),\,(1,1,0),\,(0,1,0),\,(1,1,1)\}
gera o espaço \mathbb{R}^3. O conteúdo aqui é “geração de espaço vetorial”, ou seja, mostrar que \mathrm{span}(B)=\mathbb{R}^3. Para isso precisamos encontrar três vetores de B que sejam linearmente independentes e depois mostrar que eles geram qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.

Passo 2

Escolhemos três vetores de B\) com componentes distintas para capturar todas as direções de \(\mathbb{R}^3\). Por exemplo, \[v_1 = (1,0,0),\quad v_2 = (0,1,0),\quad v_3 = (0,1,1).
Vamos verificar rapidamente que \{v_1,v_2,v_3\} são linearmente independentes. A combinação
a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3 = (0,0,0)
é
a\,(1,0,0) + b\,(0,1,0) + c\,(0,1,1) = (a,\;b+c,\;c) = (0,0,0).
Isto gera o sistema
\begin{cases} a = 0,\\\ b + c = 0,\\\ c = 0, \end{cases}
cuja única solução é (a=b=c=0]. Logo esses três vetores são independentes.

Passo 3

Agora mostramos que qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\) pode ser escrito como combinação linear de \(v_1,v_2,v_3\). Queremos \(a,b,c\) tais que \[a\,(1,0,0) + b\,(0,1,0) + c\,(0,1,1) = (x,y,z).
Isso dá o sistema
\begin{cases} a = x,\\\ b + c = y,\\\ c = z. \end{cases}
Basta escolher
c = z,\quad b = y - z,\quad a = x.
Como para todo (x,y,z)\] existe solução \((a,b,c), concluímos que \{v_1,v_2,v_3\} (e logo B) gera todo \mathbb{R}^3.

Resposta

Sim. O conjunto B gera \mathbb{R}^3.

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