Encontre a derivada 𝑑𝑦/𝑑𝑥.
y=\operatorname{tg}(\operatorname{sen} x)

Passo 1

O enunciado diz que
y = \tan\bigl(\sin x\bigr).
Isso é um caso de função composta, onde primeiro aplicamos u = \sin x e depois y = \tan(u). Para derivar, vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Defina
u = \sin x,
então a parte externa é y = \tan(u). A derivada de \tan(u) em relação a u é
\frac{dy}{du} = \operatorname{sec}^2(u).

Passo 3

Agora derivamos a parte interna u = \sin x em relação a x:
\frac{du}{dx} = \cos x.

Passo 4

Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx} = \operatorname{sec}^2(u)\,\cos x.
Substituindo u = \sin x, fica
\frac{dy}{dx} = \operatorname{sec}^2\bigl(\sin x\bigr)\,\cos x.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \operatorname{sec}^2\bigl(\sin x\bigr)\cos x.

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