Questão 0.2. Verifique se os seguintes subconjuntos geram o espaço mathbb{R}^{3} :
B=\{(2,5,6),(1,3,-1)\}

Passo 1

O conjunto B é formado por dois vetores em \mathbb{R}^3, ou seja
B=\{v_1,v_2\}\quad\text{com}\quad v_1=(2,5,6),\;v_2=(1,3,-1).
Para que B gere \mathbb{R}^3, todo vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 teria de ser combinação linear de v_1 e v_2. Vamos verificar se isso é possível.

Passo 2

Escrevemos a condição de geração como
a\,(2,5,6)+b\,(1,3,-1)=(x,y,z),
onde a e b são escalares a determinar. Isso resulta no sistema de três equações em duas incógnitas:
\begin{cases} 2a + b = x,\\\\ 5a + 3b = y,\\\\ 6a - b = z. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações isolamos a e b:
2a + b = x \quad\Longrightarrow\quad b = x - 2a,
5a + 3(x-2a) = y \quad\Longrightarrow\quad 5a + 3x -6a = y \quad\Longrightarrow\quad -a = y - 3x \quad\Longrightarrow\quad a = 3x - y.
Logo
b = x - 2(3x-y) = x -6x +2y = -5x +2y.

Passo 4

Substituindo a e b na terceira equação, temos
6a - b = z \quad\Longrightarrow\quad 6(3x-y) - \bigl(-5x+2y\bigr) = z \quad\Longrightarrow\quad 18x -6y +5x -2y = z \quad\Longrightarrow\quad 23x - 8y = z.
Isso mostra que só existe solução se (x,y,z) satisfizer
z = 23x - 8y.
Portanto nem todo (x,y,z) em \mathbb{R}^3 pode ser obtido: as combinações lineares de v_1 e v_2 formam apenas o plano dado por z=23x-8y.

Resposta

O conjunto B não gera \mathbb{R}^3.

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